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Category Archives: Soluciones
Solución a potencias de siete
Problema 5 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea n un número natural. Probar que si la última cifra de 7n es 3, la penúltima es 4.
Solución:
De nuevo otro problema de números enteros con potencias de 7. La estructura de la solución es muy conocida, se trata de encontrar un patrón en las cifras y estudiar los casos que se presenten. Se puede trabajar por inducción o bien por restos (congruencias).
La clave está en que 7⁴ = 2401, que es de la forma 100k + 1. De esta forma, 7n + 4 = 7n·(100k + 1) = 100k + 7n, por lo que 7n + 4 tiene las mismas últimas dos cifras que 7n. Es fácil razonarlo de muchas otras formas, incluso aritméticamente.
Por ejemplo: está claro que los últimos dos dígitos de un producto sólo dependen de los dos últimos dígitos de los factores, de forma que, puesto que 7·7 = 49, 49·7 = 343, que acaba en 43, y 43·7 = 301, que acaba en 01, y 1·7 = 7, vuelven a repetirse los dos últimos dígitos de las potencias de 7 cada 4 potencias, siendo sus terminaciones 07, 49, 43, y 01.
Por lo tanto, las únicas posibles dos últimas cifras para las potencias de 7 son 01, 07, 49 y 43. Por lo tanto, la única forma de que la última cifra de 7n sea 3 es que n sea de la forma 4r + 3, es decir, que la penúltima cifra es evidente que será 4.
El error más común en este tipo de razonamientos es demostrar que los valores de la forma 4r + 3 acaban en 43 y tienen un 3 en la última cifra y un 4 en la penúltima, pero no mencionar que los que no son de esa forma (los demás) no pueden tener el 3 como última cifra (como es evidente, una vez descubierta la secuencia) y que, como se pide, acabar en 3 implica que la penúltima cifra es un 4.
Solución a triángulo con polinomios
Problema 4 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determina los números reales x > 1 para los cuales existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes siguientes:
x⁴ + x³ + 2x² + x + 1
2x³ + x² + 2x + 1
x⁴ – 1.
Solución:
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Solución a ecuación con funciones
Problema 3 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todas las funciones reales de variable real que cumplen, para cualquier par de valores x e y, la igualdad siguiente:
f(x + f(x + y)) = f(2x) + y
Solución:
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Solución a suma de cuadrados
Problema 1 del viernes de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española 2018 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a y b dos números naturales mayores o iguales a 1, cuyo máximo común divisor y mínimo común múltiplo designamos por D y M, respectivamente.
Demuestra que D² + M² ≥ a² + b².
Solución:
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Solución a extraer un par de bolas
Problema 11 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En una bolsa hay n bolas, en cada una de las cuales hay escrito un número natural.
Hacemos el experimento aleatorio de extraer dos bolas de esa bolsa y sumar los números que aparecen.
Designamos como p la probabilidad de que la suma de ambos números sea par, y q la probabilidad de que sea impar.
Estudia cuáles pueden ser los valores de n y qué distribución han de tener los números de la bolsa para que se cumpla que p = q.
Solución:
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Solución a semicircunferencias en circunferencia
Problema 10 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En el interior de una circunferencia dibujamos dos semicircunferencias tangentes entre sí de forma que los diámetros son paralelos y tienen los extremos en puntos de la circunferencia.
Demuestra que la suma de las áreas de las dos semicircunferencias es exactamente la mitad del área del círculo de la circunferencia inicial.
Solución:
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Solución a producto de productos notables
Problema 9 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sabemos que x e y son dos números positivos, de forma que x es mayor que y y cumplen las dos relaciones siguientes para dos números racionales concretos A y B:
(x + y)(x² – y²) = A
(x – y)(x² + y²) = B
Calcula el valor de x/y.
Solución:
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Solución a un trapecio y dos cuadrados
Problema 8 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En un cuadrilátero como el de la figura, con dos lados paralelos, encajamos dos cuadrados diferentes, con un lado en cada uno de los lados paralelos. Un vértice de cada cuadrado coincide con uno de dos de los vértices opuestos del trapecio, y otro de los vértices de ambos cuadrados coinciden entre sí.
Conocemos la longitud de la diagonal del trapecio AC (que coincide con los lados de los cuadrados), y el área del trapecio. Se pide calcular la suma del área de ambos cuadrados.
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Solución a el robot itinerante
Problema 6 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Un robot circula por un plano coordenado de la forma que marca el dibujo.
Así, tras llegar al punto (7, 0), avanzará una unidad en horizontal hasta el (8, 0), subirá en vertical 8 unidades hasta el (8, 8) y retrocederá en horizontal ocho unidades hasta el (0, 8), y así sucesivamente.
Si cada unidad del plano mide un centímetro, ¿en qué coordenadas se encontrará cuando haya recorrido exactamente 2017 centímetros?
Solución:
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Solución a sucesión recursiva
Problema 5 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Una sucesión an se define de la siguiente manera: a1 = 4, a2 = 6 y an+1 = an/an-1 para valores de n mayores o iguales que 1.
Encuentra el valor de la suma de los términos a2016 + a2017
.
Solución
Este problema es realmente sencillo. Lo primero que debemos hacer es buscar un patrón en la sucesión recursiva que nos permita calcular valores avanzados, porque tratar de calcular una fórmula general para el cociente de dos consecutivos no ofrece buenas soluciones.
La sucesión, en sus primeros términos sería 4, 6, 6/4, 1/4, 1/6, 4/6, 4, 6, …
Tal y como leemos la fórmula, vemos que cada término sólo depende de los dos anteriores, por lo que en cuanto se repiten dos, se inicia un ciclo. Es decir, que la sucesión en realidad es cíclica y se repite exactamente igual cada 6 términos. Así, los términos de posición múltiplo de seis valdrán todos lo mismo, es decir, 4/6 = 2/3, mientras que el siguiente valdrá 4, y así sucesivamente.
Lo único que tenemos que hacer es averiguar qué parte del ciclo ocupa el término de posición 2016 y el 2017. Puesto que 2016 es divisible entre 6, está claro que serán el 2/3 y el 4, así que su suma será 14/3.