Problema 9 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sabemos que x e y son dos números positivos, de forma que x es mayor que y y cumplen las dos relaciones siguientes para dos números racionales concretos A y B:
(x + y)(x² – y²) = A
(x – y)(x² + y²) = B
Calcula el valor de x/y.
Solución:
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Problema 8 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En un cuadrilátero como el de la figura, con dos lados paralelos, encajamos dos cuadrados diferentes, con un lado en cada uno de los lados paralelos. Un vértice de cada cuadrado coincide con uno de dos de los vértices opuestos del trapecio, y otro de los vértices de ambos cuadrados coinciden entre sí.
Conocemos la longitud de la diagonal del trapecio AC (que coincide con los lados de los cuadrados), y el área del trapecio. Se pide calcular la suma del área de ambos cuadrados.
Solución Continue reading Solución a un trapecio y dos cuadrados
Problema 6 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Un robot circula por un plano coordenado de la forma que marca el dibujo.
Así, tras llegar al punto (7, 0), avanzará una unidad en horizontal hasta el (8, 0), subirá en vertical 8 unidades hasta el (8, 8) y retrocederá en horizontal ocho unidades hasta el (0, 8), y así sucesivamente.
Si cada unidad del plano mide un centímetro, ¿en qué coordenadas se encontrará cuando haya recorrido exactamente 2017 centímetros?
Problema 5 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Una sucesión an se define de la siguiente manera: a1 = 4, a2 = 6 y an+1 = an/an-1 para valores de n mayores o iguales que 1.
Encuentra el valor de la suma de los términos a2016 + a2017
.
Solución
Este problema es realmente sencillo. Lo primero que debemos hacer es buscar un patrón en la sucesión recursiva que nos permita calcular valores avanzados, porque tratar de calcular una fórmula general para el cociente de dos consecutivos no ofrece buenas soluciones.
La sucesión, en sus primeros términos sería 4, 6, 6/4, 1/4, 1/6, 4/6, 4, 6, …
Tal y como leemos la fórmula, vemos que cada término sólo depende de los dos anteriores, por lo que en cuanto se repiten dos, se inicia un ciclo. Es decir, que la sucesión en realidad es cíclica y se repite exactamente igual cada 6 términos. Así, los términos de posición múltiplo de seis valdrán todos lo mismo, es decir, 4/6 = 2/3, mientras que el siguiente valdrá 4, y así sucesivamente.
Lo único que tenemos que hacer es averiguar qué parte del ciclo ocupa el término de posición 2016 y el 2017. Puesto que 2016 es divisible entre 6, está claro que serán el 2/3 y el 4, así que su suma será 14/3.
Problema 2 del viernes de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española 2018 Se dirige a una edad de: 16-17 años
¿De cuántas maneras se puede escribir 111 como suma de tres números enteros en progresión geométrica?
En la imagen vemos tres números enteros, en este caso positivos, que forman una progresión geométrica (con representación geométrica, además). Recordad que una progresión geométrica es aquella en la que, a partir del segundo término, cada uno de ellos es igual al anterior por una cantidad constante.
Solución:
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Problema 4 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En un pentágono inscrito en una circunferencia ABCDE trazamos las diagonales AD y BE, que se cortan en F.
Suponiendo conocidos los ángulos internos del pentágono en A (BAE), en E (AED) y en C (DCB), calcular el ángulo entre las diagonales AFB.
Solución: Continue reading Solución a un ángulo en un pentágono
Problema 3 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Un número de tres cifras que son todas diferentes de cero es un cuadrado perfecto.
Si escribimos el número con las cifras en orden inverso, obtenemos un número menor que el inicial.
Si los restamos obtenemos un número múltiplo de 8.
¿Cuál es el número de tres cifras que teníamos al principio?
Solución: Continue reading Solución a restar un número invertido
Problema 2 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Disponemos de 21 puntos, de forma que hay 11 en una recta y 11 en otra (uno de ellos está en la intersección).
¿Cuántos triángulos podemos trazar cuyos vértices sean tres de esos puntos?
Si los tres puntos están sobre la misma recta se considera que no pueden formar un triángulo.
Solución: Continue reading Solución a 21 puntos
Problema 1 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En la figura, ABCD y EFGD son cuadrados.
Si conocemos la longitud de BF, que llamamos d, y el área de BCGF, que llamamos S, calcula el área del cuadrado ABCD.
Solución:
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Problema 0 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Si escribiésemos el resultado de la operación 20152016 + 20162017 + 20172018 + 20182019 + 20192020 con un único número entero ¿cuál sería la cifra de las unidades de ese número?
Solución: Continue reading Solución a suma de potencias