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Category Archives: Soluciones
Solución a divisibilidad
Problema 5 de la Fase Local (sábado) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años Sean a, b y c números naturales primos, distintos dos a dos. Demuestra que el número (ab)c – 1 + (bc)a – 1 + (ac)b – 1 – 1 es un múltiplo del producto […]
Solución a de esfera a cubo
Problema 4 de la Fase Local (sábado) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años Probar que: 1) La suma de la distancias desde un punto de la superficie de la esfera inscrita en un cubo en el espacio tridimensional real a todas las caras del mismo no depende […]
Solución a mediana a 45 grados
Problema 6 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años Sea AD la mediana de un triángulo ABC de forma que el ángulo ADB es de 45º, y ACB es de 30º. Determinar el valor del ángulo BAD. Solución:
Solución a potencias de siete
Problema 5 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años Sea n un número natural. Probar que si la última cifra de 7n es 3, la penúltima es 4. Solución: De nuevo otro problema de números enteros con potencias de 7. La estructura de […]
Solución a triángulo con polinomios
Problema 4 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años Determina los números reales x > 1 para los cuales existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes siguientes: x⁴ + x³ + 2x² + x + 1 2x³ + x² + 2x + […]
Solución a ecuación con funciones
Problema 3 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años Encuentra todas las funciones reales de variable real que cumplen, para cualquier par de valores x e y, la igualdad siguiente: f(x + f(x + y)) = f(2x) + y Solución:
Solución a suma de cuadrados
Problema 1 del viernes de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española 2018 Se dirige a una edad de: 16-17 años Sean a y b dos números naturales mayores o iguales a 1, cuyo máximo común divisor y mínimo común múltiplo designamos por D y M, respectivamente. Demuestra que D² + M² ≥ a² […]
Solución a extraer un par de bolas
Problema 11 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años En una bolsa hay n bolas, en cada una de las cuales hay escrito un número natural. Hacemos el experimento aleatorio de extraer dos bolas de esa bolsa y sumar los números que aparecen. Designamos como p […]
Solución a semicircunferencias en circunferencia
Problema 10 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años En el interior de una circunferencia dibujamos dos semicircunferencias tangentes entre sí de forma que los diámetros son paralelos y tienen los extremos en puntos de la circunferencia. Demuestra que la suma de las áreas de las […]
Solución a producto de productos notables
Problema 9 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años Sabemos que x e y son dos números positivos, de forma que x es mayor que y y cumplen las dos relaciones siguientes para dos números racionales concretos A y B: (x + y)(x² – y²) = […]