Problema 11 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Se ordenan aleatoriamente las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sin repetir ninguna, para escribir un código de 10 cifras (puede comenzar por 0).

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena de números 123?

b) Cuál es la probabilidad de que en ese código, las cifras 1, 2 y 3, aparezcan en ese orden (el 1 en alguna posición antes del 2, el 2 en alguna posición antes del 3)?

Se crea un código de 10 cifras de manera que cada cifra se elige al azar entre el 0 y el 9, independientemente de las otras.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena 20222023?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena 2022 y también la 2023?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena 2025?

Solución:
(more…)

Problema 10 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Si a, b y c son tres números reales diferentes de cero que cumplen la siguiente igualdad:

(a + b)/c = (b + c)/a = (c + a)/b = R

¿Qué valor o valores reales puede tener R?

Si para un cierto valor de K (número real diferente de cero) existen tres números reales diferentes de cero a, b y c tales que

(a + Kb)/c = (b + Kc)/a = (c + Ka)/b = S

¿Para qué valores de K resulta que S puede tener un único valor?

¿Cuál es ese valor de S (y cómo depende de K)?

Solución:
(more…)

Problema 9 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Queremos descomponer un cuadrado de 1 metro de lado en cuatro triángulos rectángulos como los indicados en la figura.

Encuentra el menor valor de x para el que es eso posible, y calcula, en caso de ser x el valor mínimo, qué área tendrá el triángulo rectángulo coloreado.

Solución:
(more…)

Problema 7 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En el triángulo rectángulo AED de la figura, rectángulo en E, AB es la altura sobre la hipotenusa y EC es la bisectriz del ángulo recto.

Si se cumple que la razón de distancias entre AC y CD es 1:3, razona cuál es la proporción entre las distancias de los tres segmentos AB, BC y CD en que ha quedado dividida la hipotenusa.

Nota: seguramente no es la única manera de enfocar el problema, pero puede ser interesante que se comience por calcular la relación de distancias AB:BD.

Solución:
(more…)

Problema 6 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Se escribe la sucesión de fracciones siguiente:

1/1, 1/2, 2/2, 1/2, 1/3, 2/3, 3/3, 2/3, 1/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 3/4, 2/4, 1/4, …

¿Cuánto suman las fracciones que están escritas con el mismo denominador que la que ocupa la posición número 2022?

Nota: para evitar otras posibles interpretaciones, decimos que el patrón para construir la sucesión es el siguiente: se escriben todas las fracciones positivas menores que 1 de denominador n, y después la fracción n/n y a continuación las mismas fracciones en orden decreciente. Y se retoma la escritura para el siguiente valor de n.

Solución:
(more…)

Problema 5 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Se considera un dibujo con algunas circunferencias concéntricas y algunas rectas paralelas, y miramos el número de intersecciones entre rectas y circunferencias, el plano queda descompuesto en algunas regiones según las posiciones relativas que tengan.

La imagen muestra un par de situaciones con tres rectas y tres circunferencias: En la primera, el plano queda dividido en 20 regiones y en la segunda en 16.

¿Cuál es el máximo número de regiones en que queda descompuesto el plano por c circunferencias concéntricas y r rectas paralelas?

Solución:
(more…)

Problema 4 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Antes de probar con este problema, deberíamos saber que el factorial de un número natural n, que se escribe n!, es n! = 1·2·3·…·(n – 1)·n.

Consideremos el número P, que se consigue de la siguiente manera: P = 1!·2!·3!·…·98!·99!·100! (es decir, como el producto del factorial de los 100 primeros números).

¿Cuál es el valor del número natural s para el cual Q = P/(s!) es un cuadrado perfecto de un número natural?

Solución:
(more…)

Problema 3 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Los puntos E, F, G y H son puntos del lado del cuadrado ABCD que cumplen AE = BF = CG = DH y, además, AE = n·EB, donde n es un valor real positivo.

¿Qué fracción del área del cuadrado ABCD representa el área del triángulo sombreado?

Solución:
(more…)

Problema 2 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

El abuelo, la abuela y Pau comen juntos un domingo.

Para postre, el abuelo ha comprado tres brazos de gitano, uno de nata, uno de trufa y uno de crema.

Pau dice: “Abuelo, para repartirlos mejor, podrías partir cada uno en tres trozos exactamente iguales”. Y así lo hace el abuelo.

Entonces, Pau pregunta: “¿De cuántas formas nos los podemos repartir si cada uno debe escoger tres trozos?

El abuelo no supo responderle a la pregunta en ese momento.

¿Qué respuesta darías tú?

Solución:
(more…)