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Category Archives: Soluciones
Solución a igualdad de fracciones
Problema 10 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Si a, b y c son tres números reales diferentes de cero que cumplen la siguiente igualdad:
(a + b)/c = (b + c)/a = (c + a)/b = R
¿Qué valor o valores reales puede tener R?
Si para un cierto valor de K (número real diferente de cero) existen tres números reales diferentes de cero a, b y c tales que
(a + Kb)/c = (b + Kc)/a = (c + Ka)/b = S
¿Para qué valores de K resulta que S puede tener un único valor?
¿Cuál es ese valor de S (y cómo depende de K)?
Solución:
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Solución a dividiendo un cuadrado
Problema 9 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Queremos descomponer un cuadrado de 1 metro de lado en cuatro triángulos rectángulos como los indicados en la figura.
Encuentra el menor valor de x para el que es eso posible, y calcula, en caso de ser x el valor mínimo, qué área tendrá el triángulo rectángulo coloreado.
Solución:
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Solución a triángulo rectángulo
Problema 7 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En el triángulo rectángulo AED de la figura, rectángulo en E, AB es la altura sobre la hipotenusa y EC es la bisectriz del ángulo recto.
Si se cumple que la razón de distancias entre AC y CD es 1:3, razona cuál es la proporción entre las distancias de los tres segmentos AB, BC y CD en que ha quedado dividida la hipotenusa.
Nota: seguramente no es la única manera de enfocar el problema, pero puede ser interesante que se comience por calcular la relación de distancias AB:BD.
Solución:
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Solución a sucesión de fracciones
Problema 6 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Se escribe la sucesión de fracciones siguiente:
1/1, 1/2, 2/2, 1/2, 1/3, 2/3, 3/3, 2/3, 1/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 3/4, 2/4, 1/4, …
¿Cuánto suman las fracciones que están escritas con el mismo denominador que la que ocupa la posición número 2022?
Nota: para evitar otras posibles interpretaciones, decimos que el patrón para construir la sucesión es el siguiente: se escriben todas las fracciones positivas menores que 1 de denominador n, y después la fracción n/n y a continuación las mismas fracciones en orden decreciente. Y se retoma la escritura para el siguiente valor de n.
Solución:
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Solución a circunferencias concéntricas
Problema 5 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Se considera un dibujo con algunas circunferencias concéntricas y algunas rectas paralelas, y miramos el número de intersecciones entre rectas y circunferencias, el plano queda descompuesto en algunas regiones según las posiciones relativas que tengan.
La imagen muestra un par de situaciones con tres rectas y tres circunferencias: En la primera, el plano queda dividido en 20 regiones y en la segunda en 16.
¿Cuál es el máximo número de regiones en que queda descompuesto el plano por c circunferencias concéntricas y r rectas paralelas?
Solución:
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Solución a producto de factoriales
Problema 4 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Antes de probar con este problema, deberíamos saber que el factorial de un número natural n, que se escribe n!, es n! = 1·2·3·…·(n – 1)·n.
Consideremos el número P, que se consigue de la siguiente manera: P = 1!·2!·3!·…·98!·99!·100! (es decir, como el producto del factorial de los 100 primeros números).
¿Cuál es el valor del número natural s para el cual Q = P/(s!) es un cuadrado perfecto de un número natural?
Solución:
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Solución a área en un cuadrado
Problema 3 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Los puntos E, F, G y H son puntos del lado del cuadrado ABCD que cumplen AE = BF = CG = DH y, además, AE = n·EB, donde n es un valor real positivo.
¿Qué fracción del área del cuadrado ABCD representa el área del triángulo sombreado?
Solución:
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Solución a repartiendo postre
Problema 2 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
El abuelo, la abuela y Pau comen juntos un domingo.
Para postre, el abuelo ha comprado tres brazos de gitano, uno de nata, uno de trufa y uno de crema.
Pau dice: “Abuelo, para repartirlos mejor, podrías partir cada uno en tres trozos exactamente iguales”. Y así lo hace el abuelo.
Entonces, Pau pregunta: “¿De cuántas formas nos los podemos repartir si cada uno debe escoger tres trozos?
El abuelo no supo responderle a la pregunta en ese momento.
¿Qué respuesta darías tú?
Solución:
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Solución a el juego de las pilas de monedas
Problema 5 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 13-14 años
Sobre la mesa hay 50 pilas de monedas que tienen 1, 2, 3, …, 50 monedas respectivamente.
Ana y Beto juegan al siguiente juego por turnos.
Primero, Ana elige una de las 50 pilas de la mesa, y Beto decide si esa pila es para Ana o para él.
Después, Beto elige una de las 49 pilas restantes de la mesa, y Ana decide si esa pila es para ella o para Beto.
Ellos continúan jugando alternadamente de esta manera hasta que uno de los jugadores tenga 25 pilas.
Cuando eso ocurre, el otro jugador toma todas las pilas restantes de la mesa y el que tiene más monedas, gana.
Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.
Solución:
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Solución a números en cajas
Problema 5 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 11-12 años
Se tienen 100 cajas que se etiquetaron con los números 00, 01, 02, …, 99. En mil tarjetas se escribieron los números 000, 001, 002, …, 999, uno en cada tarjeta.
Está permitido colocar una tarjeta en una caja si el número de la caja se puede obtener al eliminar uno de los dígitos del número de la tarjeta. Por ejemplo, está permitido colocar la tarjeta 037 en la caja 07, pero no está permitido colocar la tarjeta 156 en la caja 65.
¿Puede ocurrir que luego de colocar todas las tarjetas en las cajas, haya exactamente 50 cajas vacías?
Si la respuesta es sí, indicar cómo se colocan las tarjetas en las cajas; si la respuesta es no, explicar por qué es imposible.
Solución:
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