Filomena y su problema de peso
Problema 1 del nivel A de la Fase Comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana Se dirige a una edad de: 12-13 años
Filomena está en el laboratorio, jugando con esferas, estrella y cubos y con tres balanzas.
Le plantea un reto a su amiga Jessica: Tengo dos balanzas en equilibrio, pero ¿cuántos cubos hacen falta para equilibrar la otra?
En una balanza en equilibrio hay 5 estrellas en un plato, y cuatro cubos y una esfera en el otro.
En otra balanza en equilibrio hay 3 bolas en un plato, y seis cubos y tres estrellas en el otro.
En la balanza que queremos equilibrar hay dos esferas y dos estrellas en un plato, pero el otro está vacío.
Solución: Aquí.
Solución a votación
Problema 1 del concurso Marató de problemes 2023 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Un grupo de personas hacen una primera votación sobre un tema de interés y un a% vota que sí y un (100 – a)% vota que no; nadie vota en blanco o se abstiene.
Al cabo de unos cuantos días, después de una nueva información, el mismo conjunto de personas vuelve a votar y el resultado es b% vota sí, y (100 – b)% vota no.
¿Qué tanto por ciento de personas ha cambiado de opinión como máximo? ¿Y como mínimo?
Solución:
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Votación
Problema 1 del concurso Marató de problemes 2023 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Un grupo de personas hacen una primera votación sobre un tema de interés y un a% vota que sí y un (100 – a)% vota que no; nadie vota en blanco o se abstiene.
Al cabo de unos cuantos días, después de una nueva información, el mismo conjunto de personas vuelve a votar y el resultado es b% vota sí, y (100 – b)% vota no.
¿Qué tanto por ciento de personas ha cambiado de opinión como máximo? ¿Y como mínimo?
Solución: Aquí.
Solución a Marmara
Problema 0 del concurso Marató de problemes 2023 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Estamos en un barco, camino a Ucrania para mostrales nuestra solidaridad y desearles que este año 2023 puedan alcanzar la paz.
Atravesamos el Mar de Marmara, a punto de entrar en el Mar Negro y nos damos cuenta de que podemos conseguir que, si en la palabra MARMARA sustituimos cada letra por una cifra o por un signo de operación podemos obtener como resultado 2023.
¿Qué valor debemos dar para ello a M, A y R?
Nota: letras iguaes deben ser sustituidas por el mismo carácter, y letras diferentes, por un carácter diferente. Dos cifras juntas se leen como un número de dos cifras, por ejemplo, 98+98+8 dará 204.
Solución:
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Marmara
Problema 0 del concurso Marató de problemes 2023 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Estamos en un barco, camino a Ucrania para mostrales nuestra solidaridad y desearles que este año 2023 puedan alcanzar la paz.
Atravesamos el Mar de Marmara, a punto de entrar en el Mar Negro y nos damos cuenta de que podemos conseguir que, si en la palabra MARMARA sustituimos cada letra por una cifra o por un signo de operación podemos obtener como resultado 2023.
¿Qué valor debemos dar para ello a M, A y R?
Nota: letras iguaes deben ser sustituidas por el mismo carácter, y letras diferentes, por un carácter diferente. Dos cifras juntas se leen como un número de dos cifras, por ejemplo, 98+98+8 dará 204.
Solución: Aquí.
Solución a ecuación funcional
Problema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (sábado) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todas las funciones reales de variable real que cumplen que f(x + f(y + f(x + f(y + f(x))))) = 3x + 2y para cualesquiera x, y.
Solución:
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Ecuación funcional
Problema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (sábado) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todas las funciones reales de variable real que cumplen que f(x + f(y + f(x + f(y + f(x))))) = 3x + 2y para cualesquiera x, y.
Solución: Aquí.
Solución a dividiendo un rectángulo
Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (sábado) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea n >= 2 un entero positivo.
Dividimos un rectángulo de n·(n + 1) en piezas rectangulares: dos de 1·1, dos de 1·2, y así sucesivamente hasta dos de 1·n, con la propiedad de que para cada k >= 2, una pieza 1·k tiene los lados largos horizontales y la otra verticales.
Demostrar que, con estas condiciones, las dos piezas 1·1 comparten un lado.
Solución:
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Dividiendo un rectángulo
Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (sábado) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea n >= 2 un entero positivo.
Dividimos un rectángulo de n·(n + 1) en piezas rectangulares: dos de 1·1, dos de 1·2, y así sucesivamente hasta dos de 1·n, con la propiedad de que para cada k >= 2, una pieza 1·k tiene los lados largos horizontales y la otra verticales.
Demostrar que, con estas condiciones, las dos piezas 1·1 comparten un lado.
Solución: Aquí.
Solución a ecuación exponencial
Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encontrar todos los enteros positivos a, b, c >= 1 que satisfacen la igualdad:
2^a + 7^b = c² + 4
Solucion:
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