Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (sábado)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n >= 2 un entero positivo.

Dividimos un rectángulo de n·(n + 1) en piezas rectangulares: dos de 1·1, dos de 1·2, y así sucesivamente hasta dos de 1·n, con la propiedad de que para cada k >= 2, una pieza 1·k tiene los lados largos horizontales y la otra verticales.

Demostrar que, con estas condiciones, las dos piezas 1·1 comparten un lado.

Solución:
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Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encontrar todos los enteros positivos a, b, c >= 1 que satisfacen la igualdad:
2^a + 7^b = c² + 4

Solucion:
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Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Los inversos de los números enteros positivos de 2 a 2023 se escriben en una pizarra.

En cada paso se seleccionan dos de los números de la pizarra, x e y, y se reemplazan con el número xy/(xy + (1 – x)(1 – y)).

Este proceso se repite 2021 veces, hasta que sólo quede un número.

¿Cuáles pueden ser los posibles números que se obtengan al repetir este proceso?

Solución:
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Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Consideramos un paralelogramo ABCD.

Una circunferencia Γ que pasa por el punto A corta a los lados AB y AD en los puntos E y F, respectivamente, y a la diagonal AC en el punto G.

La prolongación de la recta FG corta al lado BC en H, y la prolongación de EG corta al lado CD en I.

Demuestra que la recta HI es paralela a EF.

Solución:
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Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Decimos que una terna (a, b, c) de números reales todos distintos de cero, es local, si:
a² + a = b²

b² + b = c²

c² + c = a².

(a) Probar que, si (a, b, c) es local, entonces (a – b)(b – c)(c – a) = 1.

(b) Sea A₁ A₂ … A₉ un eneágono regular (polígono regular de 9 lados). Supongamos que |A₁A₄| = 1 y sea |A₁A₂| = a, |A₁A₃| = b y |A₁A₅| = c. Prueba que (a, b, -c) es local.

Solución:
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