Problema 4 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 13-14 años
Matías tiene una hoja de papel rectangular ABCD, con AB < AD.
Inicialmente, él dobla la hoja a lo largo de una recta AE, donde E es un punto sobre el lado DC, de modo que el vértice D quede ubicado sobre el lado BC, como muestra la figura.
Luego dobla nuevamente la hoja a lo largo de una recta AF, donde F es un punto sobre el lado BC, de modo que el vértice B quede sobre la recta AE; y finalmente dobla la hoja a lo largo de la recta EF.
Matías observó que los vértices B y C quedaron ubicados sobre un mismo punto del segmento AE después de hacer los dobleces.
Calcular la medida del ángulo DAE.
Solución:
Se trata de un problema bastante complejo, que debemos abordar teniendo en cuenta todas las dobleces a la vez, ya que al final los puntos B y C, una vez doblados, deben coincidir.
Si nos fijamos en el trapecio rectángulo que queda después de la primera doblez, las otras dos dobleces sitúan B y C sobre el mismo punto, de forma que tenemos dos triángulos rectángulos más grandes iguales y dos pequeños iguales. Si nos fijamos, estos cuatro triángulos suman 180º, y en el punto F están duplicados ambos ángulos, con lo que ambos ángulos suman 90º, es decir, una vez doblado el triángulo es rectángulo.
Eso nos sugiere que el punto F podría ser el mismo que P, pero cuesta un poco ver que efectivamente es el mismo.
La única estrategia que he visto es emplear la circunferencia que pasa por los tres puntos, que por ser rectángulo, su centro está sobre la hipotenusa, y divide al segmento en dos partes iguales. Eso quiere decir que desde ese centro, la circunferencia va a cortar dos veces al segmento AB, y por tanto se produce una simetría respecto al segmento AF que hace que el radio que va al punto F desde el centro de la circunferencia sea paralelo a AB, es decir, perpendicular a BC, luego la circunferencia es tangente a BC, y por eso el F es el único punto de BC que forma un triángulo rectángulo con AE, por lo que inevitablemente debe coincidir con P.
Por lo tanto, los tres ángulos que se forman en A serán iguales, y por lo tanto el ángulo que buscamos debe ser de 30 grados.
