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Solución a “Tres números”
Problema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Consideramos una lista con los números 0, 1 y raíz(3).
De forma sucesiva, se va aplicando la siguiente operación: se escoge uno de los tres números de la lista y se le añade un múltiplo racional arbitrario de la diferencia entre los otros dos.
Repitiendo este proceso, ¿es posible conseguir que los tres números de la lista sean 0, raíz(3) − 1 y raíz(3) + 1?
Solución:
(more…)Solución a “Ecuación diofántica”
Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Halla todos los números enteros a y b que satisfacen la ecuación siguiente:
a(a² + b²) + 7 = 5a² + 3b²
Solución:
(more…)Solución a “Función escondida”
Problema 2 de la Fase Provincial de la Olimpiada de Matemáticas de la Comunidad Valenciana(2024) Se dirige a una edad de: 14-15 añosSea f(x) una función real de variable real que cumple la siguiente igualdad para cualquier x: f(x) + f(1/(1 – x)) = x Encuentra f(x).
Solución a “Funciones que cumplen una igualdad”
Problema 6 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todas las funciones f : (0, +∞) → (0, +∞) que cumplen, para x, y > 0 cualesquiera, la igualdad siguiente:
f(x·f(y))) = f(x·y) + x
Solución:
(more…)Solución a “Coincidencia en un cuadrilátero”
Problema 5 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un cuadrilátero convexo de forma que AB∩CD = F y AD∩BC = E.
Demuestra que los circuncírculos de los triángulos BFC, AFD, DCE y ABE tienen un punto en común.
Solución:
(more…)Solución a “Divisores que suman 1001”
Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determina el menor entero positivo n que tiene al menos 4 divisores diferentes a, b, c, y d, que son mayores que 1 y menores que n, de forma que a + b + c + d = 1001.
Solución:
(more…)Solución a “Triángulo dividido”
Problema 3 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Dividimos cada lado de un triángulo equilátero en n partes iguales, uniendo cada punto de los que hemos usado en la división con el vértice opuesto al lado donde está.
Determina el número de puntos de intersección interiores al triángulo determinados por estos segmentos en los siguientes casos.
(a) n es un número primo impar.
(b) n = 2p² , donde p es un número primo impar.
Solución:
(more…)Solución a “Un polinomio que pasa por muchos puntos”
Problema 2 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea q(x) un polinomio de grado 2023 que cumple que q(n) = 1/n para todo n = 1, 2, . . . , 2024.
Halla el valor q(2025).
Solución:
(more…)Solución a “Una parte de un paralelogramo”
Problema 1 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un paralelogramo y sea M un punto en la diagonal BD que cumple M D = 2BM .
Las rectas AM y BC se cortan en un punto N .
¿Cuál es el cociente entre el área del triángulo M N D y el área del paralelogramo ABCD?
Solución:
(more…)Ejemplo de inducción
Voy a aprovechar que 2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7⁷ + 8³ + 9³ para estudiar esta propiedad a través de uno de los métodos de demostración más sencillos de entender, el método de la inducción completa.
Demostración de que (1 + 2 + … + n)² = 1³ + 2³ + … + n³, mediante el método de la inducción.
- Probamos que es cierto en el caso n = 1 (podemos también probar algún caso más):
1² = 1³
(1 + 2)² = 3² = 9 = 1³ + 2³ = 1 + 8 - Suponemos que es cierto hasta un determinado caso. En este caso, supondremos que es cierto hasta el término n -1 porque resulta más sencillo trabajar con ese supuesto, así pues, supondremos que, para todo k menor que n se cumple (1 + 2 + … + k)² = 1³ + 2³ + … + k³. En particular, para n – 1, tenemos que (1 + 2 + … + n – 1)² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³.
- Trataremos de probar que es cierto para n, tratando de aprovechar la hipótesis de inducción vista en (2). (1 + 2 + … + n – 1 + n)² = (1 + 2 + … + n – 1)² + 2·(1 + 2 + … + n – 1)·n + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + 2·(n – 1)·n/2·n + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + (n – 1)·n·n + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + n³ – n² + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + n³, como queríamos demostrar.
En la cadena de igualdades se ha utilizado el cuadrado de la suma y la suma de una progresión aritmética de n – 1 términos y diferencia 1. Si el caso de hipótesis de inducción hubiese sido el de n en lugar de n -1, el único problema habría sido que tal vez habríamos necesitado el desarrollo de (n + 1)³.