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Solución a “Funciones que cumplen una igualdad”
Problema 6 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todas las funciones f : (0, +∞) → (0, +∞) que cumplen, para x, y > 0 cualesquiera, la igualdad siguiente:
f(x·f(y))) = f(x·y) + x
Solución:
(more…)Solución a “Coincidencia en un cuadrilátero”
Problema 5 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un cuadrilátero convexo de forma que AB∩CD = F y AD∩BC = E.
Demuestra que los circuncírculos de los triángulos BFC, AFD, DCE y ABE tienen un punto en común.
Solución:
(more…)Solución a “Divisores que suman 1001”
Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determina el menor entero positivo n que tiene al menos 4 divisores diferentes a, b, c, y d, que son mayores que 1 y menores que n, de forma que a + b + c + d = 1001.
Solución:
(more…)Solución a “Triángulo dividido”
Problema 3 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Dividimos cada lado de un triángulo equilátero en n partes iguales, uniendo cada punto de los que hemos usado en la división con el vértice opuesto al lado donde está.
Determina el número de puntos de intersección interiores al triángulo determinados por estos segmentos en los siguientes casos.
(a) n es un número primo impar.
(b) n = 2p² , donde p es un número primo impar.
Solución:
(more…)Solución a “Un polinomio que pasa por muchos puntos”
Problema 2 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea q(x) un polinomio de grado 2023 que cumple que q(n) = 1/n para todo n = 1, 2, . . . , 2024.
Halla el valor q(2025).
Solución:
(more…)Solución a “Una parte de un paralelogramo”
Problema 1 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un paralelogramo y sea M un punto en la diagonal BD que cumple M D = 2BM .
Las rectas AM y BC se cortan en un punto N .
¿Cuál es el cociente entre el área del triángulo M N D y el área del paralelogramo ABCD?
Solución:
(more…)Ejemplo de inducción
Voy a aprovechar que 2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7⁷ + 8³ + 9³ para estudiar esta propiedad a través de uno de los métodos de demostración más sencillos de entender, el método de la inducción completa.
Demostración de que (1 + 2 + … + n)² = 1³ + 2³ + … + n³, mediante el método de la inducción.
- Probamos que es cierto en el caso n = 1 (podemos también probar algún caso más):
1² = 1³
(1 + 2)² = 3² = 9 = 1³ + 2³ = 1 + 8 - Suponemos que es cierto hasta un determinado caso. En este caso, supondremos que es cierto hasta el término n -1 porque resulta más sencillo trabajar con ese supuesto, así pues, supondremos que, para todo k menor que n se cumple (1 + 2 + … + k)² = 1³ + 2³ + … + k³. En particular, para n – 1, tenemos que (1 + 2 + … + n – 1)² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³.
- Trataremos de probar que es cierto para n, tratando de aprovechar la hipótesis de inducción vista en (2). (1 + 2 + … + n – 1 + n)² = (1 + 2 + … + n – 1)² + 2·(1 + 2 + … + n – 1)·n + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + 2·(n – 1)·n/2·n + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + (n – 1)·n·n + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + n³ – n² + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + n³, como queríamos demostrar.
En la cadena de igualdades se ha utilizado el cuadrado de la suma y la suma de una progresión aritmética de n – 1 términos y diferencia 1. Si el caso de hipótesis de inducción hubiese sido el de n en lugar de n -1, el único problema habría sido que tal vez habríamos necesitado el desarrollo de (n + 1)³.
Solución a “Divisible por una potencia de 5”
Problema 4 de la Fase Nacional de la L Olimpiada Matemática Española (2014) Se dirige a una edad de: 16-17 años
La sucesión {xn} para n entero positivo, definida por x1 = 2 y xn + 1 = 2(xn)³ + xn para todo n mayor o igual que 1.
Determina la mayor potencia de 5 que divide al número (x2014)² + 1.
Solución:
(more…)Solución a “Bombones rebajados”
Problema 9 del concurso Marató de problemes 2024< Se dirige a una edad de: 14-15 años
Unos bombones se venden a un precio de 0,50€ cada uno.
En la pastelería hacen una promoción algo especial:
Si se compran entre 16 y 30 bombones, hacen una rebaja del 6% en el precio total de los bombones.
Si se compran entre 31 y 50 bombones, la rebaja sería del 12% sobre el precio inicial total de los bombones.
Si se compran más de 50, entonces hacen un 20% de descuento sobre el precio inicial total de los bombones.
Anna hizo una primera compra de bombones, por la que le hicieron un 6% de descuento. Volvió al rato e hizo una segunda compra por la que le hicieron un 12% de descuento. Entonces se dio cuenta de que si los hubiese comprado todos a la vez, le habrían hecho un descuento del 20% y se habría ahorrado 2,55€ en total.
¿Cuántos bombones compró la primera vez?
Solución:
(more…)Solución a “Cuatro políticos”
Problema 8 del concurso Marató de problemes 2024 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Cuatro ilustres políticos, A, B, C y D, realizan las siguientes declaraciones:
A: “B y C mienten, ambos”.
B: “C y D mienten, ambos”.
C: “A miente”.
D: “B miente”.
¿Puede ser que alguno o varios de ellos digan la verdad? En ese caso, ¿quién, o quienes?
Solución:
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