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Category Archives: Soluciones
Solución a octógono irregular
Problema 2 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
A partir de un cuadrado, encontramos los puntos medios de los cuadrados y unimos cada vértice con uno de los puntos medios.
A partir de esas líneas, dibujamos el octógono amarillo que vemos en la figura.
Calcula la proporción del área total del cuadrado que ocupa ese octógono.
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Solución a sucesión recursiva
Problema 2 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Consideramos la sucesión de números enteros f(n), con n mayor o igual que 1, definida por las siguientes condiciones:
f(1) = 1.
Si n es par, f(n) = f(n/2).
Si n es impar y f(n – 1) es impar, entonces f(n) = f(n – 1) – 1.
Si n es impar y f(n – 1) es par, entonces f(n) = f(n – 1) + 1.
a) Calcula f(22020 – 1).
b) Demuestra que la sucesión no es periódica, es decir, que no existen enteros positivos t y n0 que cumplan que si n es mayor que n0, entonces f(n + t) = f(n).
Solución:
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Solución a la edad de la madre
Problema 1 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Cuando una madre escribe tres veces seguidas su edad obtiene un número de seis cifras que es el producto de seis números: La edad de sus cuatro hijos (que son números diferentes), la edad del padre y su propia edad.
¿Cuál es la suma de las edades de los cuatro hijos?
Solución:
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Solución a prueba de aptitud
Problema 0 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
A una prueba de aptitud se presentan 2019 personas, 995 chicos y 1024 chicas, y exactamente 1234 superan la prueba.
Calcula cuál es el valor de A – B, siendo A el número de chicas que han superado la prueba y B el número de chicos que no la han superado.
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Solución a juego para dos
Problema 4 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Ana y Benito juegan a un juego que consta de 2020 rondas.
Inicialmente, en la mesa hay 2020 cartas, numeradas de 1 a 2020, y Ana tiene una carta adicional con el número 0.
En la ronda k-ésima, el jugador que no tiene la carta k – 1 decide si toma la carta k o si se la entrega al otro jugador.
El número de cada carta indica su valor en puntos.
Al terminar el juego, gana quien tiene más puntos.
Determina qué jugador tiene la estrategia ganadora, o si ambos jugadores pueden forzar el empate, y describe la estrategia a seguir.
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Solución a dos reuniones, dos problemas
Problema 14 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En una reunión hay más hombres que mujeres, más mujeres sentadas que hombres que miran el móvil, y más mujeres que están de pie y miran el móvil que hombres que están de pie y no miran el móvil.
Demuestra que hay menos mujeres que están de pie y no miran el móvil que hombres sentados que no miran el móvil.
En otra reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes.
Se cumple que, en cada grupo de 6 personas, al menos dos tienen la misma edad.
Demuestra que al menos hay 5 personas de la misma edad, el mismo sexo y la misma nacionalidad.
Solución:
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Solución a polinomios almerienses
Problema 1 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Decimos que un polinomio p(x) , con coeficientes reales, es almeriense si tiene la forma p(x) = x³ + ax² + bx + a, y sus tres raíces son números reales positivos en progresión aritmética.
Halla todos los polinomios almerienses tales que p(7/4) = 0.
Solución:
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Solución a doblar la matrícula
Problema 12 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Las matrículas actuales de los coches usan un código de cuatro cifras (desde el 0000 al 9999), seguido de tres letras (desde el BBB al ZZZ).
Por diferentes razones sólo se usan estas 20 letras: B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N, P, R, S, T, V, W, X, Y, Z.
En un determinado momento se matriculó el coche 2020CCC.
Cuando llevaban matriculados exactamente el doble de vehículos que en ese momento ¿cuál era la matrícula del último matriculado?
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Solución a tres números relacionados
Problema 11 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Tenemos tres números relacionados, a, x e y, de forma que x = a + 1/a, y también y = a³ + 1/a³.
¿Puedes escribir una fórmula que permita expresar y en función de x?
Solución:
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Solución a tres vértices alineados
Problema 10 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Tres cuadrados que tienen las bases alineadas tienen la propiedad de que su vértice superior izquierdo está alineado.
Suponiendo que tenemos el valor a del lado del cuadrado menor, y el valor b del lado del cuadrado mediano, determina el valor del lado x del lado del cuadrado mayor.
Solución:
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