Problema 9 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
¿Cuántos números de 7 cifras hay, escritos con las siete cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 (cada cifra debe aparecer exactamente una vez en el número) que sean múltiplos de 11?
A esta pregunta añado yo ¿podrías encontrar cuál es el mayor y cuál es el menor de ellos?
Solución: Continue reading Solución a siete cifras
Problema 8 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Se nos dan cuatro valores, T, m n y p. Podemos dar la solución con unos valores concretos y explicar cómo se calcula, pero se apreciaría más dar la solución general.
Alba, Berta, Carmen y Diana son cuatro jugadoras de un equipo de baloncesto.
Las cuatro tienen alturas diferentes, y entre todas suman T centímetros.
Alba mide m centímetros más que Carmen.
Diana mide n centímetros más que Berta.
Si sumamos la altura de la más alta y la de la más baja, el resultado es p centímetros inferior al resultado de la suma de las otras dos.
¿Cuánto miden las cuatro jugadoras?
Solución:
Continue reading Solución a altura de cuatro jugadoras
Problema 6 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En un triángulo rectángulo ABC, la hipotenusa AC se divide en 12 partes iguales.
De cada una de ellas se traza una paralela al cateto BC, hasta el cateto AB, dividiendo el triángulo en 12 polígonos (un triángulo y 11 trapecios).
Hemos marcado dos de ellos, el cuarto a partir del vértice A, y el cuarto a partir del cateto BC.
¿Cuánto vale el resultado de dividir el área del mayor de los dos entre el otro?
Soución Continue reading Solución a cociente de áreas
Problema 7 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En la imagen de ejemplo podemos ver cómo podemos encajar un polígono regular de 10 lados, uno de 3 (triángulo equilátero) y otro de 15, sin dejar espacios entre ellos.
a) Estudiar y razonar con todo detalle todos los valores de m y n (pueden ser iguales, pero supondremos que m es menor o igual que n) que hacen que un polígono regular de m lados, otro de n lados y un triángulo equilátero encajan sin dejar espacio entre los tres.
b) Estudiar todos los posibles valores de m, n y p (donde m menor o igual que n, y n menor o igual que p) en los que tres polígonos regulares de tamaños m, n y p encajan sin dejar huecos.
Solución Continue reading Solución a polígonos regulares encajables
Problema 5 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En una reunión se da el curioso caso de que la media de las edades de las personas presentes coincide con el número de personas.
En ese momento, llega a la reunión otra nueva persona que tiene una edad A, y ¡qué casualidad! Vuelve a darse que la edad media coincide con el número de personas presentes.
¿Cuántas personas hay al final, en función de la edad A?
Solución:
Continue reading Solución a edades en una reunión
Problema 4 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En un trapecio rectángulo de área 2019, los cuatro lados tienen como longitudes números enteros.
¿Cuáles son las longitudes de los lados de este trapecio?
Solución:
Continue reading Solución a trapecio rectángulo
Problema 3 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Tenemos siete listones, cuyas longitudes, todas diferentes, en centímetros, son 3, 4, 7, 8, 24, 26 y 28.
¿Cuántos triángulos diferentes podemos construir uniendo tres de estos listones?
Se supone que dos triángulos son iguales si sus tres lados son iguales, aunque sean simétricos en lugar de iguales, es decir, se les puede dar la vuelta y poner los listones al revés, y siguen siendo iguales.
Solución:
Continue reading Solución a triángulos diferentes
Problema 2 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
A partir de un cuadrado, encontramos los puntos medios de los cuadrados y unimos cada vértice con uno de los puntos medios.
A partir de esas líneas, dibujamos el octógono amarillo que vemos en la figura.
Calcula la proporción del área total del cuadrado que ocupa ese octógono.
Solución: Continue reading Solución a octógono irregular
Problema 2 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Consideramos la sucesión de números enteros f(n), con n mayor o igual que 1, definida por las siguientes condiciones:
f(1) = 1.
Si n es par, f(n) = f(n/2).
Si n es impar y f(n – 1) es impar, entonces f(n) = f(n – 1) – 1.
Si n es impar y f(n – 1) es par, entonces f(n) = f(n – 1) + 1.
a) Calcula f(22020 – 1).
b) Demuestra que la sucesión no es periódica, es decir, que no existen enteros positivos t y n0 que cumplan que si n es mayor que n0, entonces f(n + t) = f(n).
Solución:
Continue reading Solución a sucesión recursiva
Problema 1 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Cuando una madre escribe tres veces seguidas su edad obtiene un número de seis cifras que es el producto de seis números: La edad de sus cuatro hijos (que son números diferentes), la edad del padre y su propia edad.
¿Cuál es la suma de las edades de los cuatro hijos?
Solución:
Continue reading Solución a la edad de la madre