Category: Soluciones

Solución a juego para dos

Problema 4 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Ana y Benito juegan a un juego que consta de 2020 rondas.

Inicialmente, en la mesa hay 2020 cartas, numeradas de 1 a 2020, y Ana tiene una carta adicional con el número 0.

En la ronda k-ésima, el jugador que no tiene la carta k – 1 decide si toma la carta k o si se la entrega al otro jugador.

El número de cada carta indica su valor en puntos.

Al terminar el juego, gana quien tiene más puntos.

Determina qué jugador tiene la estrategia ganadora, o si ambos jugadores pueden forzar el empate, y describe la estrategia a seguir.
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Solución a dos reuniones, dos problemas

Problema 14 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una reunión hay más hombres que mujeres, más mujeres sentadas que hombres que miran el móvil, y más mujeres que están de pie y miran el móvil que hombres que están de pie y no miran el móvil.

Demuestra que hay menos mujeres que están de pie y no miran el móvil que hombres sentados que no miran el móvil.

En otra reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes.

Se cumple que, en cada grupo de 6 personas, al menos dos tienen la misma edad.

Demuestra que al menos hay 5 personas de la misma edad, el mismo sexo y la misma nacionalidad.

Solución:
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Solución a polinomios almerienses

Problema 1 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Decimos que un polinomio p(x) , con coeficientes reales, es almeriense si tiene la forma p(x) = x³ + ax² + bx + a, y sus tres raíces son números reales positivos en progresión aritmética.

Halla todos los polinomios almerienses tales que p(7/4) = 0.

Solución:
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Solución a doblar la matrícula

Problema 12 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Las matrículas actuales de los coches usan un código de cuatro cifras (desde el 0000 al 9999), seguido de tres letras (desde el BBB al ZZZ).

Por diferentes razones sólo se usan estas 20 letras: B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N, P, R, S, T, V, W, X, Y, Z.

En un determinado momento se matriculó el coche 2020CCC.

Cuando llevaban matriculados exactamente el doble de vehículos que en ese momento ¿cuál era la matrícula del último matriculado?
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Solución a tres vértices alineados

Problema 10 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Tres cuadrados que tienen las bases alineadas tienen la propiedad de que su vértice superior izquierdo está alineado.

Suponiendo que tenemos el valor a del lado del cuadrado menor, y el valor b del lado del cuadrado mediano, determina el valor del lado x del lado del cuadrado mayor.

Solución:
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Solución a función racional

Problema 2 de la Olimpiada Matemática Canadiense de 2008
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todas las funciones f racionales de variable racional (es decir, del conjunto de los números racionales en sí mismo) que cumplen, para cualquier par de números racionales x e y, la relación f(2f(x) + f(y)) = 2x + y.

Solución:
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Solución a el viaje

Problema 9 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Un centro escolar organizó un viaje en autobús que tiene un coste total fijo para el centro independientemente del número de alumnos que vayan. El centro divide el coste total entre el número de personas que se apunten.

Se inscribieron más de veinte y, cuando calcularon el coste individual que supondría, el resultado fue una cantidad entera de euros.

Cuando anunciaron el coste, cuatro de los que se habían apuntado se borraron. Volvieron a calcular el coste individual, que curiosamente fue otra vez un número entero de euros, y se comenzó a recaudar el dinero. Todo fue bien hasta llegar a los dos últimos, que dijeron que no podrían ir a la excursión.

El día del viaje se volvió a calcular el coste del viaje por participante, que volvió a ser un número entero, y se tuvieron que recoger 3€ más a cada uno de los alumnos que finalmente fueron y que habían pagado ya la parte que les correspondía anteriormente.

¿Cuánto ha costado finalmente el viaje a cada participante?

Solución:
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Solución a escalera de cuadrados

Problema 8 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En la siguiente figura se aprecia una estructura de aspecto triangular hecha con cuadrados iguales, todos de lado 1 cm.

En la fila superior hay 1 cuadrado.

Bajo esa fila hay otra con dos cuadrados.

La tercera fila empezando desde arriba tiene tres cuadrados.

Y así sucesivamente, hasta la fila n, en la que hay n cuadrados.

La imagen corresponde a un n = 4.

Cada cuadrado recae sobre dos de los cuadrados de la fila previa, no necesariamente centrado, pero sin dejar huecos con los cuadrados vecinos.

Hay una línea negra dibujada que marca el polígono que rodea a todos estos cuadrados.

Indicamos con S la superficie de este polígono en cm² para un n determinado, y P al perímetro en cm del mismo polígono.

Se puede escribir S en función de P como un polinomio d segundo grado, independientemente del n. Esta relación se da para cualquier valor de n.

Encuentra los valores a, b, c que cumplen S = aP² + bP + c.

Solución:
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