Problema 1 del viernes de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española 2018 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a y b dos números naturales mayores o iguales a 1, cuyo máximo común divisor y mínimo común múltiplo designamos por D y M, respectivamente.
Demuestra que D² + M² ≥ a² + b².
Solución: Aquí
Problema 11 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En una bolsa hay n bolas, en cada una de las cuales hay escrito un número natural.
Hacemos el experimento aleatorio de extraer dos bolas de esa bolsa y sumar los números que aparecen.
Designamos como p la probabilidad de que la suma de ambos números sea par, y q la probabilidad de que sea impar.
Estudia cuáles pueden ser los valores de n y qué distribución han de tener los números de la bolsa para que se cumpla que p = q.
Solución:
Continue reading Solución a extraer un par de bolas
Problema 11 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En una bolsa hay n bolas, en cada una de las cuales hay escrito un número natural.
Hacemos el experimento aleatorio de extraer dos bolas de esa bolsa y sumar los números que aparecen.
Designamos como p la probabilidad de que la suma de ambos números sea par, y q la probabilidad de que sea impar.
Estudia cuáles pueden ser los valores de n y qué distribución han de tener los números de la bolsa para que se cumpla que p = q.
Solución: Aquí
Problema 10 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En el interior de una circunferencia dibujamos dos semicircunferencias tangentes entre sí de forma que los diámetros son paralelos y tienen los extremos en puntos de la circunferencia.
Demuestra que la suma de las áreas de las dos semicircunferencias es exactamente la mitad del área del círculo de la circunferencia inicial.
Solución:
Continue reading Solución a semicircunferencias en circunferencia
Problema 10 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En el interior de una circunferencia dibujamos dos semicircunferencias tangentes entre sí de forma que los diámetros son paralelos y tienen los extremos en puntos de la circunferencia.
Demuestra que la suma de las áreas de las dos semicircunferencias es exactamente la mitad del área del círculo de la circunferencia inicial.
Solución: Aquí
Problema 9 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sabemos que x e y son dos números positivos, de forma que x es mayor que y y cumplen las dos relaciones siguientes para dos números racionales concretos A y B:
(x + y)(x² – y²) = A
(x – y)(x² + y²) = B
Calcula el valor de x/y.
Solución:
Continue reading Solución a producto de productos notables
Problema 9 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sabemos que x e y son dos números positivos, de forma que x es mayor que y y cumplen las dos relaciones siguientes para dos números racionales concretos A y B:
(x + y)(x² – y²) = A
(x – y)(x² + y²) = B
Calcula el valor de x/y.
Solución: Aquí
Problema 8 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En un cuadrilátero como el de la figura, con dos lados paralelos, encajamos dos cuadrados diferentes, con un lado en cada uno de los lados paralelos. Un vértice de cada cuadrado coincide con uno de dos de los vértices opuestos del trapecio, y otro de los vértices de ambos cuadrados coinciden entre sí.
Conocemos la longitud de la diagonal del trapecio AC (que coincide con los lados de los cuadrados), y el área del trapecio. Se pide calcular la suma del área de ambos cuadrados.
Solución Continue reading Solución a un trapecio y dos cuadrados
Problema 8 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En un cuadrilátero como el de la figura, con dos lados paralelos, encajamos dos cuadrados diferentes, con un lado en cada uno de los lados paralelos. Un vértice de cada cuadrado coincide con uno de dos de los vértices opuestos del trapecio, y otro de los vértices de ambos cuadrados coinciden entre sí.
Conocemos la longitud de la diagonal del trapecio AC (que coincide con los lados de los cuadrados), y el área del trapecio. Se pide calcular la suma del área de ambos cuadrados.
Problema 6 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Un robot circula por un plano coordenado de la forma que marca el dibujo.
Así, tras llegar al punto (7, 0), avanzará una unidad en horizontal hasta el (8, 0), subirá en vertical 8 unidades hasta el (8, 8) y retrocederá en horizontal ocho unidades hasta el (0, 8), y así sucesivamente.
Si cada unidad del plano mide un centímetro, ¿en qué coordenadas se encontrará cuando haya recorrido exactamente 2017 centímetros?
