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Category Archives: Soluciones
Solución a dados
Problema 1 del nivel C fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 10-11 años
Tenemos dos dados, en las caras de uno de ellos aparecen los números 2, 4, 8, 16, 32 y 64, mientras que en las caras del otro aparecen los números del 1 al 6.
Tiramos los dados y multiplicamos los dos números que obtenemos.
¿Cuál es la probabilidad de que esta multiplicación sea un cuadrado perfecto?
Solución:
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Solución a área sombreada
Problema 1 del nivel A fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 12-13 años
¿Qué fracción representa la parte sombreada?
En el dibujo, a partir de un cuadrado, se ha dividido cada lado en tres partes, uniendo una esquina con la más lejana de las dos divisiones de los dos lados contrarios, y las dos divisiones más próximas de la otra esquina.
Solución:
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Solución a el valor de un polinomio
Problema 1 del nivel B fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Sabiendo que el valor numérico del polinomio p(x) = x² – 3x + 5 en el punto x = k es 0, calcula el valor que tendrá q(x) = x⁴ – 6x³ + 9x² – 7 en el punto x = k.
Solución:
Este problema consistía realmente en calcular el valor del polinomio q sin conocer el valor de k.
Si buscamos el valor de k, nos encontraremos que no es un número real (según nuestros conocimientos, no existirá) y en ese caso, puede que caigamos en la tentación de dar el problema por cerrado. Sin embargo, a pesar de no ser un número real, se puede evaluar el polinomio q a partir de propiedades como que p(k) = 0, en este caso.
La clave es ver si el polinomio p está contenido en el polinomio q un determinado número de veces, y para eso la herramienta que debemos usar es la división:
Si dividimos q(x) = x⁴ – 6x³ + 9x² – 7 entre p(x) = x² – 3x + 5, veremos que realmente x⁴ – 6x³ + 9x² – 7 = (x² – 3x + 5)( x² – 3x – 5) + 18.
Eso quiere decir que, si k hace que p(k) valga cero, en realidad el producto que forma el primer sumando es cero, con lo que el polinomio q(k) realmente valdrá 18.
En este problema veo algunas cosas que resultan poco adecuadas para un concurso, ya que dependiendo de lo que la persona que se enfrenta a él sepa, puede tratar de hacer una cosa u otra, y además debe estar familiarizado con la operación de división entre polinomios para darle respuesta, ya que no se me ocurre ningún otro método para darle respuesta.
Solución a igualdad en una función
Problema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determinar todas las funciones f tales que f(xf(y) + y) = f(xy) + f(y) para todos los números reales x, y.
Solución:
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Solución a fracciones sumadas
Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Demostrar que todos los números racionales pueden expresarse como suma de algunas fracciones de la forma (n – 1)/(n + 2), con n >= 0 entero, admitiendo repetir sumandos.
Solución:
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Solución a cuadrilátero
Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
ABCD es un cuadrilátero convexo, que verifica AB > BC, CD = DA, y el ángulo ABD es igual que el ángulo DBC.
Sea E el punto de la recta AB tal que el ángulo DEB es un ángulo recto.
Prueba que AE = (AB – BC)/2.
Solución:
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Solución a torneo de ajedrez
Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En un torneo de ajedrez participan 8 maestros durante 7 días.
Cada día se disputan 4 partidas en las cuales participan todos los maestros, y al finalizar el torneo todos se han enfrentado contra todos exactamente una vez.
Demuestra que, al terminar el quinto día del torneo, existe un conjunto de al menos 4 maestros que ya han jugado entre ellos todas las partidas.
Solución:
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Solución a potencia con tres impares
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Al desarrollar (1 + x + x²)n en potencias de x, exactamente tres términos tienen coeficiente impar.
¿Para qué valores de n es esto posible?
Solución:
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Solución a triángulo
Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En el triángulo ABC con lado mayor BC, las bisectrices se cortan en I. Las rectas AI, BI y CI cortan a BC, CA y AB en los puntos D, E y F, respectivamente.
Se consideran puntos G y H, en los segmentos BD y CD, respectivamente, tales que el ángulo GID es igual a ABC, y HID es igual a ACB. Probar que BHE = CGF
Solución:
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Solución a un tablero con piedras
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determinar todas las parejas de enteros positivos (m, n) para los cuales es posible colocar algunas piedras en las casillas de un tablero de m filas y n columnas, no más de una piedra por casilla, de manera que todas las columnas tengan la misma cantidad de piedras, y no existan dos filas con la misma cantidad de piedras.
Solución:
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