Problema 5 de la fase catalana de la 57 Olimpiada Matemática Española (2020/21)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Ana y Bernat juegan un juego sobre un tablero ajedrezado de dimensiones 2020×2020.

Decimos que una colección de piezas puestas en ese tablero está arrinconada (en la esquina inferior izquierda) si no hay ninguna casilla vacía de forma que la casilla inmediatamente superior o inmediatamente a la derecha de ella contenga una pieza, como se muestra en la figura.

Inicialmente, hay 2020 piezas colocadas en una posición arrinconada.

En turnos alternos, comenzando por Ana, cada jugador retira dos piezas de casillas adyacentes (con un lado en común), con la condición de que la configuración restante siga siendo arrinconada.

Pierde el jugador que no puede hacer un movimiento.

Determina cuál de los dos jugadores ganará en función de la posición inicial de las 2020 piezas, suponiendo que ambos jueguen de forma óptima.

Solución:
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Problema 2 de la fase catalana de la 57 Olimpiada Matemática Española (2020/21)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Tenemos un tablero nxn, con n > 2.

Escribimos en cada casilla un número natural entre el 1 y el n² diferente, en cualquier orden.

Demuestra que siempre existen dos casillas adyacentes tales que los números que x, y que contienen satisfacen la siguiente desigualdad: |x – y| ≥ n/2 + 1.

Entendemos que son casillas adyacentes aquellas que comparten un lado.
Solución:
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Problema 4 de la fase catalana de la 57 Olimpiada Matemática Española (2020/21)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Determina todos los valores enteros de n tales que la fracción (8n – 3)/(17n – 9) es irreducible.
Solución:
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Problema 1 de la fase catalana de la 57 Olimpiada Matemática Española (2020/21)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a y b dos números reales tales que 1010 ≤ a, b ≤ 2020.

Demuestra que (a + b)(1/a + 1/b) ≤ 9/2.
Solución:
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Problema 3 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Tenemos 2021 colores y 2021 fichas de cada color.

Colocamos las 2021² fichas en fila.

Se dice que una ficha F es “mala” si a cada lado queda un número impar de las 2020·2021 fichas que no comparten color con F.

(a) Determina cuál es el mínimo número posible de fichas malas.

(b) Si se impone la condición de que cada ficha ha de compartir color con al menos una ficha adyacente. ¿Cuál es el mínimo número posible de fichas malas?

Solución:
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Problema 5 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Disponemos de 2n bombillas colocadas en dos filas (A y B) y numeradas del 1 al n en cada fila.

Algunas (o ninguna) de las bombillas están encendidas y el resto, apagadas; decimos que esto es un “estado”.

Dos estados son distintos si hay una bombilla que está apagada en uno de ellos y encendida en el otro.

Diremos que un estado es “bueno” si hay la misma cantidad de bombillas encendidas en la fila A que en la B.

Demuestra que el número total de estados buenos (EB) dividido por el número total de estados (ET), es: EB/ET = (1·3·5·…·(2n – 1))/(2ⁿ·n!).
Solución:
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Problema 2 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Dado un número entero positivo n, definimos λ(n) como el número de soluciones enteras positivas de la ecuación x² – y² = n.

Diremos que el número n es “olímpico” si λ(n) = 2021.

¿Cuál es el primer entero positivo que es olímpico?

¿Y cuál es el menor entero positivo impar que es olímpico?

Solución:
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Problema 2 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Dado un número entero positivo n, definimos λ(n) como el número de soluciones enteras positivas de la ecuación x² – y² = n.

Diremos que el número n es “olímpico” si λ(n) = 2021.

¿Cuál es el primer entero positivo que es olímpico?

¿Y cuál es el menor entero positivo impar que es olímpico?

Solución: Aquí.

Problema 4 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a, b, c y d números reales tales que a + b + c + d = 0 y a² + b² + c² + d² = 12.

Halla el valor mínimo y el valor máximo que puede tomar el producto abcd, y determina para qué valores de a, b, c y d se consiguen ese mínimo y ese máximo.

Solución:
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