Home » Soluciones (Page 12)
Category Archives: Soluciones
Solución a tres cuadrados en otro cuadrado
Problema 7 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sobre la diagonal de un cuadrado se sitúan dos puntos que se usan para construir tres cuadrados de forma que el cuadrado central tiene la misma área que la suma de las otras dos.
Razona con todo detalle y precisión cuánto mide el ángulo que se forma en un vértice del cuadrado contenedor que no esté en la diagonal al unirlo con los dos vértices de la diagonal del cuadrado central.
Solución:
(more…)
Solución a escalera mecánica
Problema 6 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Enrique y Francisca deben subir una larga escalera mecánica que está en marcha.
Como tienen prisa, mientras funciona la escalera, ellos avanzan más rápido porque van subiendo escalones de uno en uno.
Enrique sube escalones tres veces más rápido que Francisca.
Cuando llegan arriba del todo, Enrique ha subido e escalones, y Francisca ha subido f.
¿Cuántos escalones habrían tenido que subir si la escalera hubiese estado parada (en función de esos dos valores)?
Nota: los concursantes recibían dos valores concretos, diferentes para cada persona.
Solución:
(more…)
Solución a piratas
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Un grupo de 12 piratas de edades diferentes se reparte 2022 monedas, de manera que cada pirata (salvo el más joven) tiene una moneda más que el siguiente más joven.
A continuación, cada día se procede de la siguiente manera: se escoge un pirata que tenga al menos 11 monedas y ese pirata da una moneda a todos los demás.
Encontrar el mayor número de monedas que un pirata puede llegar a tener.
Solución:
(more…)
Solución a igualdad y conclusión
Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a1, a2, a3, a4, a5 y a6 números reales diferentes, de manera que ninguno de ellos es igual a 0.
Supongamos que (a1² + a2² + a3² + a4² + a5²)(a2² + a3² + a4² + a5² + a6²) = (a1a2 + a2a3 +a3a4 + a4a5 + a5a6)².
Demuestra que los números a1, a2, a3, a4, a5 y a6 están en progresión geométrica.
Solución:
(more…)
Solución a bisectriz en un isósceles
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABC un triángulo isósceles con el ángulo BAC de 100º.
La bisectriz del ángulo CBA corta al lado AC en el punto D.
Demostrar que BD + DA = BC.
Solución:
(more…)
Solución a números bonitos
Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Un número n de siete cifras es bonito si se puede expresar como la suma de dos números de siete cifras s y t, tales que todas las cifras de s son impares y todas las cifras de t son pares.
Determinar cuáles de los siguientes números son bonitos:
6204773, 6372538, 7343053, 8993267, 9652393.
Solución:
(more…)
Solución a calculadora averiada
Problema 5 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En mi calculadora, una y sólo una de las teclas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9 funciona mal: cuando la pulsas, aparece en pantalla un dígito entre 1 y 9 que no es el que corresponde.
En esta calculadora, cuando quiero escribir el número 987654321, aparece en la pantalla un número divisible por 11 y que deja resto 3 al dividirlo por 9.
¿Cuál es la tecla que funciona mal, y qué cifra hace aparecer?
Solución:
(more…)
Solución a antena de telefonía fija
Problema 4 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Una antena de telefonía se fija verticalmente sobre una base rectangular horizontal, de vértices ABCD, con cables que van desde el extremo superior de la antena a los cuatro vértices de la base.
Conocemos la longitud de tres cables, que son:
El cable que va del vértice A a la antena, que tiene a metros.
El cable que va del vértice B a la antena, que tiene b metros.
El cable que va del vértice C a la antena, que tiene c metros.
Estos tres datos permiten determinar la longitud del cuarto cable, que se une al vértice D. Calcula, en función de a, b y c, la longitud del cable que falta.
Solución:
(more…)
Solución a un sorteo justo
Problema 3 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Para elegir un elemento del conjunto A = {01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15} ejecutamos el siguiente procedimiento:
En primer lugar, ponemos en una bolsa z bolas marcadas con un 0 y u bolas marcadas con un 1, y elegimos una bola, que indicará la primera cifra del elemento que elegiremos finalmente.
En segundo lugar, si ha salido un 0, pondremos en una segunda bolsa nueve bolas numeradas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9 (una de cada), mientras que si ha salido un 1, sólo pondremos en la segunda bolsa seis bolas numeradas 0, 1, 2, 3, 4, y 5 (una de cada). A continuación extraeremos una bola de esta segunda bolsa, que será la segunda cifra de el elemento que escogeremos.
Calcula cuáles han de ser los valores mínimos que pueden tener z y u para que los 15 elementos de A tengan todos la misma probabilidad de ser escogidos.
Solución:
(more…)
Solución a el área de un triángulo
Problema 2 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Conocemos los dos lados de un triángulo, que son a y b.
¿Cuál es el máximo valor que puede tener el área del triángulo?
Solución:
(more…)