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Category Archives: Soluciones
Solución a un sistema complicado
Problema 4 del concurso Marató de problemes 2022 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Sabemos que se cumplen las igualdades siguientes:
A + B + C = m
C·B – A = n
A – C = p
Y que A, B y C son números naturales.
¿Cuál será el resultado de C·A + B (en función de m, n y p)?
(nota: a los participantes les daban valores concretos de m, n y p)
Solución:
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Solución a seis listones
Problema 3 del concurso Marató de problemes 2022 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Tienes seis listones de longitudes 1 cm, 2 cm, 3 cm, 21 cm, 22 cm y 23 cm.
Quieres escoger tres diferentes para formar un triángulo con los tres que has elegido.
¿Cuántas formas diferentes tienes para hacer la selección de los tres listones?
Solución:
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Solución a el área del rectángulo
Problema 2 del concurso Marató de problemes 2022 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En un rectángulo ABCD hemos marcado dos puntos E y F, respectivamente, en los lados AD y BC, de forma que EA = BF, y unimos estos puntos con los vértcices de los lados opuestos, y así se determinan dos puntos M y N.
Si conocemos las medidas de AB = a y MN = d, ¿cuál es el área del rectángulo ABCD?
Solución:
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Solución a número de divisores
Problema 1 del concurso Marató de problemes 2022 Se dirige a una edad de: 14-15 años
El número 20 = 2²·5 tiene 6 divisores enteros positivos, el número 22 = 2·11 tiene 4 y el 2022 = 2·3·337 tiene 8.
¿Cuántos divisores enteros positivos tiene 20²²?
Solución:
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Solución a feliz 2022
Problema 0 del concurso Marató de problemes 2022 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En la imagen, aparecen las letras de BON2022 en cierta posición, de forma que podemos recorrer ordenadamente los caracteres de esa expresión comenzando por la B, siguiendo los movimientos hacia la derecha, hacia arriba, hacia la izquierda o bien hacia abajo, nunca en diagonal.
¿De cuántas formas lo podemos hacer?
Solución:
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Solución a suma de fracciones
Problema 12 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Suma estas fracciones, obteniendo el resultado en forma de fracción irreducible:
1/(1 + 2022-2022) + 1/(1 + 2022-2021)+ … + 1/(1 + 2022-1) + 1/(1 + 20220) + 1/(1 + 20221) + … + 1/(1 + 20222021) + 1/(1 + 20222022)
Solución:
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Solución a reparto
Problema 11 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Queremos repartir 20 objetos idénticos entre Alba, Bernat, Carla y Diana.
a) Razona de cuántas maneras diferentes lo podemos hacer si no se pone ninguna condición al reparto, es decir, que se contempla la posibilidad de que alguna o varias de las cuatro personas no reciban ningún objeto.
b) Explica de cuántas formas se puede hacer el reparto si queremos que cada persona reciba algún objeto. Y, con esta condición, calcula razonadamente en cuántas de estas formas Alba recibe exactamente 3 objetos.
c) Razona de cuántas formas se puede hacer el reparto con el único condicionante de que Diana reciba menos objetos que Alba, y también menos que Bernat, y también menos que Carla.
Repite los apartados anteriores en el caso de que los 20 objetos fuesen todos diferentes
Solución:
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Solución a sólo dos distancias
Problema 10 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Queremos analizar qué estructuras geométricas puede tener un conjunto de puntos del plano con la propiedad de que si calculamos todas las distancias entre cualquier par de puntos del conjunto sólo resulten dos valores.
a) Comencemos por los conjuntos de tres puntos. Si están alineados, razona que el conjunto formado por dos extremos de un segmento y su punto medio cumple la propiedad pedida y ningún otro tipo de conjunto la tiene.
b) Pensemos ahora en los vértices de un triángulo. Si tomamos tres puntos que sean los vértices de un triángulo equilátero, este conjunto no cumple esa propiedad, ya que sólo aparece una única distancia entre todos ellos. Razona si existe o no un triángulo cuyos vértices formen un conjunto con esta propiedad.
c) Estudia qué estructuras pueden tener los conjuntos de 4 puntos del plano que cumplan la propiedad. Trata de indicar un camino para encontrarlas, dibújalas y justifica que cumplen la propiedad.
d) Repite el apartado anterior para conjuntos de 5 puntos.
Solución:
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Solución a unos polinomios muy especiales
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todos los polinomios p(x) con coeficientes reales tales que p(x) + p(y) + p(z) + p(x + y + z) = p(x + y) + p(y + z) + p(x + y) para cualquier terna de números reales x, y, z.
Solución:
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Solución a un sistema con potencias
Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años
Hallar todas las ternas de números reales (a, b, c) que cumplan el sistema:
a + b + c = 3
2a + 2b + 2c = 7
2-a + 2-b = ¾
Solución:
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