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Category Archives: Soluciones
Solución a unos polinomios muy especiales
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todos los polinomios p(x) con coeficientes reales tales que p(x) + p(y) + p(z) + p(x + y + z) = p(x + y) + p(y + z) + p(x + y) para cualquier terna de números reales x, y, z.
Solución:
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Solución a un sistema con potencias
Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años
Hallar todas las ternas de números reales (a, b, c) que cumplan el sistema:
a + b + c = 3
2a + 2b + 2c = 7
2-a + 2-b = ¾
Solución:
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Solución a 13 puntos en una estrella
Problema 1 de la Fase Nacional de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
La estrella de seis puntas de la figura es regular: todos los ángulos interiores de los triángulos son iguales.
A cada uno de los trece puntos señalados se le asigna un color: verde o rojo.
Demuestra que siempre habrá tres puntos del mismo color que son vértices de un triángulo equilátero.
(No estaba en el enunciado, pero se entiende que el triángulo equilátero del que son vértices puede no estar trazado en las líneas de la figura dibujada.)
Solución:
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Solución a un punto en el cuadrilátero
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un cuadrilátero convexo, y sea P un punto en su interior.
Si se cumple que área(PAB)·área(PCD) = área(PBC)·área(PDA), demostrar que el punto P se encuentra en el segmento AC o en el segmento BD.
Solución:
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Solución a la fila de 2022 personas
Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde) Se dirige a una edad de: 16-17 años
En una fila hay 2022 personas.
Cada una de ellas, o siempre miente, o siempre dice la verdad.
Todos ellos afirman “Hay más mentirosos a mi izquierda que gente que dice la verdad a mi derecha”.
Determinar cuántos mentirosos hay en la fila.
Solución:
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Solución a el pedido caprichoso
Problema 9 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Un fabricante de tres productos, cuyos precios unitarios son P1, P2 y P3.
Recibe un pedido de Q unidades en total de un detallista, que le transfiere un pago de T euros, que debe satisfacerse exactamente.
El detallista pone la condición de que le envíe el máximo posible del producto más caro (supongamos que es P3), y el resto de los otros productos, de manera que haya al menos uno de cada tipo.
¿Cuántos tiene que enviar de cada tipo para satisfacer el pedido?
(Para fijar los valores con los que se ha de explorar en la búsqueda de la solución, soluciona el problema con los valores P1 = 30, P2 = 45, P3 = 50, Q = 60 y T = 2930 y luego generaliza)
Solución:
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Solución a cuatro círculos
Problema 8 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En una circunferencia de radio R trazamos una una circunferencia tangente a la circunferencia y al diámetro, que vemos en este caso de color rojo. Su radio será r.
Seguro que sabemos deducir que el radio de esta circunferencia es r = R/2.
A continuación trazamos una circunferencia de radio s tangente a la circunferencia de color rojo, al diámetro y a la circunferencia inicial, en el dibujo de color azul. Se pide como primer dato la relación entre s y R, es decir, el valor k que cumple s = k·R.
Por último, trazamos una circunferencia de radio t, tangente a la circunferencia de radio s anterior, al diámetro y a la circunferencia inicial, que en el dibujo vemos de color naranja. Se pide la relación entre t y R, es decir, el valor h que cumple t = h·R.
Solución:
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Solución a tres cuadrados en otro cuadrado
Problema 7 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sobre la diagonal de un cuadrado se sitúan dos puntos que se usan para construir tres cuadrados de forma que el cuadrado central tiene la misma área que la suma de las otras dos.
Razona con todo detalle y precisión cuánto mide el ángulo que se forma en un vértice del cuadrado contenedor que no esté en la diagonal al unirlo con los dos vértices de la diagonal del cuadrado central.
Solución:
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Solución a escalera mecánica
Problema 6 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Enrique y Francisca deben subir una larga escalera mecánica que está en marcha.
Como tienen prisa, mientras funciona la escalera, ellos avanzan más rápido porque van subiendo escalones de uno en uno.
Enrique sube escalones tres veces más rápido que Francisca.
Cuando llegan arriba del todo, Enrique ha subido e escalones, y Francisca ha subido f.
¿Cuántos escalones habrían tenido que subir si la escalera hubiese estado parada (en función de esos dos valores)?
Nota: los concursantes recibían dos valores concretos, diferentes para cada persona.
Solución:
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Solución a piratas
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Un grupo de 12 piratas de edades diferentes se reparte 2022 monedas, de manera que cada pirata (salvo el más joven) tiene una moneda más que el siguiente más joven.
A continuación, cada día se procede de la siguiente manera: se escoge un pirata que tenga al menos 11 monedas y ese pirata da una moneda a todos los demás.
Encontrar el mayor número de monedas que un pirata puede llegar a tener.
Solución:
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