Author: dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

Circunferencias concéntricas

Problema 5 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Se considera un dibujo con algunas circunferencias concéntricas y algunas rectas paralelas, y miramos el número de intersecciones entre rectas y circunferencias, el plano queda descompuesto en algunas regiones según las posiciones relativas que tengan.

La imagen muestra un par de situaciones con tres rectas y tres circunferencias: En la primera, el plano queda dividido en 20 regiones y en la segunda en 16.

¿Cuál es el máximo número de regiones en que queda descompuesto el plano por c circunferencias concéntricas y r rectas paralelas?

Solución: Aquí.

Solución a producto de factoriales

Problema 4 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Antes de probar con este problema, deberíamos saber que el factorial de un número natural n, que se escribe n!, es n! = 1·2·3·…·(n – 1)·n.

Consideremos el número P, que se consigue de la siguiente manera: P = 1!·2!·3!·…·98!·99!·100! (es decir, como el producto del factorial de los 100 primeros números).

¿Cuál es el valor del número natural s para el cual Q = P/(s!) es un cuadrado perfecto de un número natural?

Solución:
Continue reading Solución a producto de factoriales

Producto de factoriales

Problema 4 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Antes de probar con este problema, deberíamos saber que el factorial de un número natural n, que se escribe n!, es n! = 1·2·3·…·(n – 1)·n.

Consideremos el número P, que se consigue de la siguiente manera: P = 1!·2!·3!·…·98!·99!·100! (es decir, como el producto del factorial de los 100 primeros números).

¿Cuál es el valor del número natural s para el cual Q = P/(s!) es un cuadrado perfecto de un número natural?

Solución: Aquí.

Solución a área en un cuadrado

Problema 3 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Los puntos E, F, G y H son puntos del lado del cuadrado ABCD que cumplen AE = BF = CG = DH y, además, AE = n·EB, donde n es un valor real positivo.

¿Qué fracción del área del cuadrado ABCD representa el área del triángulo sombreado?

Solución:
Continue reading Solución a área en un cuadrado

Solución a repartiendo postre

Problema 2 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

El abuelo, la abuela y Pau comen juntos un domingo.

Para postre, el abuelo ha comprado tres brazos de gitano, uno de nata, uno de trufa y uno de crema.

Pau dice: “Abuelo, para repartirlos mejor, podrías partir cada uno en tres trozos exactamente iguales”. Y así lo hace el abuelo.

Entonces, Pau pregunta: “¿De cuántas formas nos los podemos repartir si cada uno debe escoger tres trozos?

El abuelo no supo responderle a la pregunta en ese momento.

¿Qué respuesta darías tú?

Solución:
Continue reading Solución a repartiendo postre

Repartiendo el postre

Problema 2 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

El abuelo, la abuela y Pau comen juntos un domingo.

Para postre, el abuelo ha comprado tres brazos de gitano, uno de nata, uno de trufa y uno de crema.

Pau dice: “Abuelo, para repartirlos mejor, podrías partir cada uno en tres trozos exactamente iguales”. Y así lo hace el abuelo.

Entonces, Pau pregunta: “¿De cuántas formas nos los podemos repartir si cada uno debe escoger tres trozos?

El abuelo no supo responderle a la pregunta en ese momento.

¿Qué respuesta darías tú?

Solución: Aquí.

Solución a el juego de las pilas de monedas

Problema 5 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 13-14 años

Sobre la mesa hay 50 pilas de monedas que tienen 1, 2, 3, …, 50 monedas respectivamente.
Ana y Beto juegan al siguiente juego por turnos.

Primero, Ana elige una de las 50 pilas de la mesa, y Beto decide si esa pila es para Ana o para él.

Después, Beto elige una de las 49 pilas restantes de la mesa, y Ana decide si esa pila es para ella o para Beto.

Ellos continúan jugando alternadamente de esta manera hasta que uno de los jugadores tenga 25 pilas.

Cuando eso ocurre, el otro jugador toma todas las pilas restantes de la mesa y el que tiene más monedas, gana.

Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.

Solución:
Continue reading Solución a el juego de las pilas de monedas

El juego de las pilas de monedas

Problema 5 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 13-14 años

Sobre la mesa hay 50 pilas de monedas que tienen 1, 2, 3, …, 50 monedas respectivamente.
Ana y Beto juegan al siguiente juego por turnos.

Primero, Ana elige una de las 50 pilas de la mesa, y Beto decide si esa pila es para Ana o para él.

Después, Beto elige una de las 49 pilas restantes de la mesa, y Ana decide si esa pila es para ella o para Beto.

Ellos continúan jugando alternadamente de esta manera hasta que uno de los jugadores tenga 25 pilas.

Cuando eso ocurre, el otro jugador toma todas las pilas restantes de la mesa y el que tiene más monedas, gana.

Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.

Solución: Aquí.

Solución a números en cajas

Problema 5 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 11-12 años

Se tienen 100 cajas que se etiquetaron con los números 00, 01, 02, …, 99. En mil tarjetas se escribieron los números 000, 001, 002, …, 999, uno en cada tarjeta.

Está permitido colocar una tarjeta en una caja si el número de la caja se puede obtener al eliminar uno de los dígitos del número de la tarjeta. Por ejemplo, está permitido colocar la tarjeta 037 en la caja 07, pero no está permitido colocar la tarjeta 156 en la caja 65.

¿Puede ocurrir que luego de colocar todas las tarjetas en las cajas, haya exactamente 50 cajas vacías?

Si la respuesta es sí, indicar cómo se colocan las tarjetas en las cajas; si la respuesta es no, explicar por qué es imposible.

Solución:
Continue reading Solución a números en cajas