Solución a altura de cuatro jugadoras

Problema 8 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Se nos dan cuatro valores, T, m n y p. Podemos dar la solución con unos valores concretos y explicar cómo se calcula, pero se apreciaría más dar la solución general.

Alba, Berta, Carmen y Diana son cuatro jugadoras de un equipo de baloncesto.

Las cuatro tienen alturas diferentes, y entre todas suman T centímetros.

Alba mide m centímetros más que Carmen.

Diana mide n centímetros más que Berta.

Si sumamos la altura de la más alta y la de la más baja, el resultado es p centímetros inferior al resultado de la suma de las otras dos.

¿Cuánto miden las cuatro jugadoras?
Solución:

Para tratar de resolver el problema, nos vendría bien poner un ejemplo con valores concretos y ver cómo se busca la solución.

Se trata de cuatro alturas, pongamos 175 (Berta), 180 (Carmen), 190 (Alba) y 201 (Diana).

En este caso, la suma de las cuatro alturas, T, sería 746.

El valor de m, sería 10, ya que Alba mide 10 centímetros más que Carmen.

El valor de n sería 26, ya que Diana mide 26 centímetros más que Berta.

Y por último, como la altura de la más alta y la más baja es 376 y la de las otras dos es 170, tenemos que p vale 6.
Veamos cómo damos con la solución (o soluciones), y anotemos los pasos.

Está claro que tenemos una ecuación a + b + c + d = 746 (en general, a + b + c + d = T).

Otra ecuación sería a – c = 10 (en general, a – c = m).

Una tercera ecuación, claramente d – b = 26 (en general, d – b = n).

La cuarta ecuación es más confusa, ya que hay varias posibilidades.

Está claro que la más alta debe ser una de las dos que son más altas (Alba o Diana), y la más baja debe ser una de las otras que son más bajas (Berta o Carmen), pero no queda claramente especificado cuál de ellas es, de forma que la última ecuación debe ser una de las siguientes:

a + b – c – d = 6
a – b + c – d = 6
-a + b – c + d = 6
-a – b + c – d = 6

Es decir, hay cuatro posibilidades. Resolver el sistema no es difícil, y puede que alguna de las soluciones no lleve a ningún lado, pero vamos a intentarlo en cada una de las cuatro variantes.

Primera posibilidad.

a + b + c + d = 746 (T)
a – c = 10 (m)
d – b = 26 (n)
a + b – c – d = 6 (p)

Puesto que la a = 10 + c, tenemos que

b + 2c + d = 736 (T – m)
d – b = 26 (n)
b – d = -4 ( p – m)

Esta situación es absurda. Luego descartamos esta posibilidad.

Si se estudia en general, veremos que si p – m es distinto de -n, es decir, si p es distinto de m – n, esta situación no se puede dar. En caso de que sea igual, hay una gran cantidad de situaciones posibles.

Segunda posibilidad.

a + b + c + d = 746 (T)
a – c = 10 (m)
d – b = 26 (n)
a – b + c – d = 6 (p)

Puesto que a = 10 + c, tenemos que

b + 2c + d = 736 (T – m)
d – b = 26 (n)
-b +2c – d = -4 (p – m)

Y como d = 26 + b, tenemos que

2b + 2c = 710 (T – m – n)
-2b +2c = 22 (p – m + n)

Sumando ambas igualdades, 4c = 732, por lo que c = 183. A partir de ahí, tenemos b = 172, a = 193 y d = 198, que no es la situación de partida.

Tercera posibilidad.

a + b + c + d = 746 (T)
a – c = 10 (m)
d – b = 26 (n)
-a + b – c + d = 6 (p)

De nuevo, a = 10 + c, por lo que

b + 2c + d = 736 (T – m)
d – b = 26 (n)
b – 2c + d = 16 (p + m)

Y como d = 26 + b, tenemos que

2b + 2c = 710 (T – m – n)
2b – 2c = -10 (p + m – n)

De nuevo, sumando tenemos que 4b = 700, por lo que b = 175, c = 180, a = 190 y d = 201, que era la otra posibilidad (nuestra posibilidad de partida).

Cuarta y última posibilidad.

a + b + c + d = 746 (T)
a – c = 10 (m)
d – b = 26 (n)
-a – b + c + d = 6 (p)

De nuevo vuelve a suceder algo similar a la primera posibilidad. No debería darse el caso, salvo que p coincida con n – m, y en ese caso, hay muchas soluciones posibles.

Para solucionar esas dos posibilidades válidas en general, seguimos el proceso con las letras que hay entre paréntesis, logrando obtener las siguientes soluciones:

Primera solución:

c = (T + p – 2m)/4, b = (T – p – 2n)/4, a = (T + p + 2m)/4 y d = (T – p + 2n)/4

Segunda solución:

b = (T + p – 2n)/4, c = (T – p – 2m)/4, a = (T – p + 2m)/4 y d = (T + p+ 2n)/4

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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