Author: dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

Suma de productos

Problema 2 del segundo nivel de la XXV Olimpiada de Mayo (2019)
Se dirige a una edad de 14 años

Se tiene un tablero con 2020 casillas en la fila inferior y 2019 en la superior, de forma que están ubicadas las casillas de una fila entre dos de la otra, como indica la figura.

En la fila inferior se colocan los números enteros del 1 al 2020 en algún orden.

Luego, en cada casilla superior se anota la multiplicación de los dos números que tiene debajo.

¿Cómo se pueden colocar los números de la fila inferior para que la suma de los números de la fila superior sea la menor posible?

Solución: Aquí.

Solución al menor de los máximos

Problema 5 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Se consideran todos los pares de números reales (x, y) tales que 0 ≤ x ≤ y ≤ 1.

Sea M(x, y) el máximo valor del conjunto de tres números reales A = {xy, xy – x – y + 1, x + y – 2xy}.

Hallar el mínimo valor que puede tomar M(x, y) para todos estos pares (x, y).
Solución:
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El menor de los máximos

Problema 5 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Se consideran todos los pares de números reales (x, y) tales que 0 ≤ x ≤ y ≤ 1.

Sea M(x, y) el máximo valor del conjunto de tres números reales A = {xy, xy – x – y + 1, x + y – 2xy}.

Hallar el mínimo valor que puede tomar M(x, y) para todos estos pares (x, y).
Solución: Aquí.

Solución a piezas de madera

Problema 4 del nivel C de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

¿Cuáles de las figuras A, B, C y D indicadas pueden construirse pegando por los lados piezas de madera iguales a la forma de la izquierda?

Dejo dibujado un cuadriculado de guía para facilitar el razonamiento.

Solución:
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Solución a zona sombreada

Problema 4 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Partimos de un círculo de radio 4 metros.

Desde un punto exterior al círculo, trazamos dos tangentes al mismo, y comprobamos que forman en ese punto un ángulo de 60º.

Si rellenamos de color el área entre las dos tangentes y el círculo ¿qué área queda sombreada?

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Zona sombreada

Problema 4 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Partimos de un círculo de radio 4 metros.

Desde un punto exterior al círculo, trazamos dos tangentes al mismo, y comprobamos que forman en ese punto un ángulo de 60º.

Si rellenamos de color el área entre las dos tangentes y el círculo ¿qué área queda sombreada?

Solución: Aquí.

Solución a los muñecos

Problema 4 de nivel A de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Daniel tiene la misma cantidad de vaqueros, indios, soldados y caballeros.

Después de la visita de su primo Quique, descubre que le ha desaparecido la tercera parte de los muñecos.

Sabiendo que la cantidad de vaqueros que le queda coincide con la de los indios que le faltan, y que le quedan 14 soldados de los 21 que tenía inicialmente, ¿cuántos caballeros se ha llevado Quique?

Solución:
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