Perímetro y área de un hexágono regular

Calcular el área y el perímetro de un hexágono regular. Definición de hexágono regular y demostración de las fórmulas del área y del perímetro del mismo, escritas en función del lado, de la apotema y del radio del circuncírculo. Matemáticas. Geometría plana. Secundaria. Bachillerato. Calculadora online.

Un hexágono es un polígono de 6 lados y 6 vértices. Es regular si todos los lados miden lo mismo y los ángulos interiores son de 120º:

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La apotema de un hexágono regular de lado L es

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Perímetro

  • El perímetro de un hexágono regular de lado L es

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  • El perímetro en función de la apotema es

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  • El perímetro en función del radio es

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Área

  • El área del hexágono regular es

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  • El área en función del lado es

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  • El área en función de la apotema es

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  • El área en función del radio es

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Más ejemplos y temas relacionados:

Perímetro y área de un pentágono regular

Un pentágono es un polígono de 5 lados y 5 vértices. Es regular si todos los lados miden lo mismo y los ángulos interiores son de 108º:

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La apotema (ap) de un polígono regular es la distancia de cualquiera de sus lados al centro del polígono:

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Observad que la apotema une el punto medio de cada lado con el centro del polígono.

 

Perímetro

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  • El perímetro de un pentágono regular de lado L es

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  • En función de la apotema ap, el perímetro es

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  • En función del radio r, el perímetro es

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Área

  • El área de un pentágono regular de lado L y apotema ap es

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  • El área en función del lado L:

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  • El área en función de la apotema ap es

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  • El área en función del radio r:

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Problemas y temas relacionados:

Área y perímetro de un rombo

Un rombo es un paralelogramo con lados de igual longitud.

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Tiene dos diagonales que unen los vértices opuestos y se cortan en ángulo recto:

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Perímetro

El perímetro es la suma de las longitudes de los cuatro lados.

 

  • Si cada lado mide L, el perímetro es

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  • Si las diagonales miden D y d, el perímetro es

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Área

Básicamente, existen cuatro fórmulas para calcular el área:

  • El área del rombo es la mitad del producto de sus diagonales (D y d):

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  • El área del rombo es igual al producto de uno de sus lados L y de la distancia de dicho lado al vértice opuesto d (altura):

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  • El área del rombo es igual al producto de dos de sus lados contiguos L y el seno del ángulo α que forman entre ellos:

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  • El área del rombo es su semiperímetro multiplicado por el radio R de la circunferencia inscrita en el rombo:

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Más ejemplos y temas relacionados:

Perímetro y área de un rectángulo

Un rectángulo es un polígono de 4 lados (cuadrilátero), de modo que los lados opuestos son paralelos e iguales y los lados contiguos forman ángulos rectos:

Proporcionamos tres calculadoras relacionadas con el área y el perímetro de un rectángulo, definimos rectángulo y demostramos las fórmulas del área y perímetro del mismo. También, resolvemos 3 problemas de aplicación de las fórmulas vistas. Matemáticas. Geometría plana. Secundaria. Bachillerato. Calculadora online.

Un caso especial de rectángulo es el cuadrado:

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Un cuadrado es un rectángulo cuyos lados tienen la misma longitud (se trata de un cuadrilátero regular).

Perímetro

El perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados, así que el perímetro de un rectángulo de altura a y base b es

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Área

El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura:

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Ejemplo: ¿Cuál es el área de un rectángulo de perímetro 18cm si su altura mide 2cm?

La altura del rectángulo es a = 2.

La fórmula del perímetro es

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Sustituimos P = 18 y a = 2  y resolvemos la ecuación:

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La base es b = 7.

Calculamos el área del rectángulo:

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El área del rectángulo es 14 cm2.

 

Más ejemplos y temas relacionados:

Ecuación del círculo

Recordad que la ecuación de la circunferencia de centro P = (a, b) y radio R es

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Los puntos cuyas coordenadas cumplen dicha ecuación forman parte de la circunferencia.

Un círculo es una circunferencia que incluye los puntos de su interior. La distancia de dichos puntos del interior hasta el centro de la circunferencia es menor que el radio. Por tanto, la ecuación del círculo de centro (a, b) y radio R es

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Finalmente, si no queremos el borde del círculo, escribimos el signo de desigualdad estricta:

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

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Más ejemplos y temas relacionados:

Ecuación de una circunferencia

La circunferencia de radio R y centro P = (a, b) es el conjunto de puntos del plano tales que su distancia al punto P es exactamente R:

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Dichos puntos cumplen una ecuación, la ecuación de la circunferencia, que es la siguiente:

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

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Si queremos saber si un punto forma parte de una circunferencia dada (o de un círculo), sólo tenemos que comprobar si sus coordenadas cumplen la ecuación.

Ejemplo: la circunferencia x ²+ y² = 1 tiene centro (0,0) y su radio es 1

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

El punto (0, 1) es de la circunferencia y, por tanto, sus coordenadas cumplen la ecuación de la circunferencia:

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Sin embargo, el punto (1, 1) no cumple la ecuación porque no es un punto de la circunferencia:

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Más ejemplos y temas relacionados:

Encontrar la parábola a partir de su gráfica

Observando la gráfica de una parábola podemos obtener la siguiente información:

  • Las coordenadas del vértice.
  • Las coordenadas de 3 puntos distintos de la gráfica.
  • Los puntos de corte con el eje abscisas.

Esta información es suficiente para hallar la ecuación de una parábola, la cual tiene la forma

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

siendo a ≠ 0.

Ahora, recordamos algunos conceptos que nos ayudarán a obtener los coeficientes a, b y c a partir de la gráfica de la parábola.

Vértice

Todas las parábolas tienen forma de  (si a>0) o de  (si a<0). En cualquier caso, el punto más alto o máximo (si a>0) o el punto más bajo o mínimo (si a<0) de la parábola es el punto cuya primera coordenada es

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Ejemplo de una parábola con forma de  (verde) y otra con forma de  (azul):

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Raíces

Los puntos (α, 0) de la parábola cortan al eje de abscisas. Una parábola puede tener 1, 2 o ningún punto de corte con este eje. Se pueden dar 3 casos.

Caso 1:

La parábola tiene dos raíces (reales) distintas: α y β. Entonces, se cumple la siguiente igualdad:

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Caso 2:

La parábola tiene una única raíz (real): α. Entonces, se cumple que

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Caso 3:

La parábola no tiene raíces. En este caso, no podemos usar las raíces para encontrar la ecuación.

Obtener la ecuación

Una forma de obtener la ecuación de la parábola es hacerlo resolviendo un sistema de ecuaciones lineales a partir de 3 puntos distintos de la parábola. Sin embargo, este método puede ser engorroso, así que es preferible utilizar las propiedades vistas anteriormente: coordenadas del vértice, puntos de corte, etc.

Ejemplo 1: encontrar la ecuación de la parábola que corta al eje de las abscisas en los puntos (1, 0) y (3, 0) y que pasa al eje de ordenadas en el punto (0, 9).

De los puntos de corte con el eje de abscisas sabemos que las raíces de la función parabólica son x = 1 y x = 3. Por tanto, la ecuación de la parábola es

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Falta conocer el coeficiente , pero podemos hallarlo sabiendo que la parábola pasa por el punto (0, 9). Sólo tenemos que sustituir las coordenadas:

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Por tanto, la ecuación de la parábola es

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O bien, si calculamos los productos,

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Gráfica:

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Ejemplo 2: hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en el punto (1, 1) y que pasa por el punto (0, -3).

Sabemos que la primera coordenada del vértice es

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Por tanto, como el vértice está en (1, 1), tenemos

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Por otro lado, podemos sustituir las coordenadas del punto (0, -3) en la ecuación general de la parábola:

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Sustituimos  y n la ecuación:

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Nos falta hallar el coeficiente , pero también podemos sustituir las coordenadas del vértice (1, 1) en la ecuación:

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Luego la ecuación de la parábola es

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Gráfica:

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Más ejemplos y temas relacionados:

Puntos equidistantes

Un punto P es equidistante de un conjunto de puntos x1, x2 … xn si la distancia de P a cada uno de estos puntos es la misma:

Explicamos el concepto de punto equidistante y proporcionamos ejemplos y problemas resueltos. ESO. Geometría. Matemáticas.

Ejemplo 1: El punto P = (0,1) es equidistante a los puntos x1 = (1, 1) y x2 = (2, 0):

Explicamos el concepto de punto equidistante y proporcionamos ejemplos y problemas resueltos. ESO. Geometría. Matemáticas.

La distancia de P a los puntos estos puntos es 1.

Ejemplo 2: los puntos de la circunferencia de radio r y centro P es un conjunto de puntos equidistantes de P:

Explicamos el concepto de punto equidistante y proporcionamos ejemplos y problemas resueltos. ESO. Geometría. Matemáticas.

La distancia de todos los puntos de la circunferencia a su centro es igual al radio, r.

Ejemplo 3: en un cuadrado, los vértices equidistan del centro:

Explicamos el concepto de punto equidistante y proporcionamos ejemplos y problemas resueltos. ESO. Geometría. Matemáticas.

Observad que los vértices no son equidistantes entre sí.

 

Ejemplo 4: en un triángulo equilátero, los vértices son equidistantes entre sí:

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También, los vértices equidistan del ortocentro:

Explicamos el concepto de punto equidistante y proporcionamos ejemplos y problemas resueltos. ESO. Geometría. Matemáticas.

Y además, los puntos medios de cada lado equidistan del ortocentro:

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Nota: el ortocentro es el punto donde intersectan las tres alturas del triángulo.

 

Más ejemplos y temas relacionados:

Distancia entre puntos del plano

La distancia entre dos puntos (a, b) y (x, y) del plano se define como

Explicamos cómo calcular la distancia entre dos puntos de la recta, del plano y del espacio reales Con ejemplos, representaciones y problemas resueltos. Matemáticas. ESO. Álgebra básica.

Como la distancia es una raíz cuadrada, es siempre mayor o igual que 0.

Ejemplo 1: la distancia entre los puntos (2, 2) y (2, 4) es 2:

Explicamos cómo calcular la distancia entre dos puntos de la recta, del plano y del espacio reales Con ejemplos, representaciones y problemas resueltos. Matemáticas. ESO. Álgebra básica.

Representación:

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Ejemplo 2: la distancia entre los puntos (-2, 6) y (-5, 2) es 5:

Explicamos cómo calcular la distancia entre dos puntos de la recta, del plano y del espacio reales Con ejemplos, representaciones y problemas resueltos. Matemáticas. ESO. Álgebra básica.

Representación:

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Más ejemplos y temas relacionados:

Fórmula de Herón

Seguramente la fórmula más utilizada para calcular el área, A,  de un triángulo cualquiera de altura h y base b es

Herón de Alejandría: biografía y la fórmula y el método de Herón (área de un triángulo y aproximación de raíces cuadradas)

Sin embargo, disponemos también de otra sencilla fórmula que se utiliza con menos frecuencia, la cual es función de la longitud de los lados del triángulo en lugar de su base y altura: la fórmula de Herón.

Fórmula de Herón

Dado un triángulo de lados a, b y c

Herón de Alejandría: biografía y la fórmula y el método de Herón (área de un triángulo y aproximación de raíces cuadradas)

Entonces, su área es

Herón de Alejandría: biografía y la fórmula y el método de Herón (área de un triángulo y aproximación de raíces cuadradas)

siendo s su semiperímetro, que es la mitad de la suma de sus lados:

Herón de Alejandría: biografía y la fórmula y el método de Herón (área de un triángulo y aproximación de raíces cuadradas)

Ejemplo: calculamos el área del triángulo equilátero de lado 1:

Herón de Alejandría: biografía y la fórmula y el método de Herón (área de un triángulo y aproximación de raíces cuadradas)

Como el triángulo es equilátero, sus tres lados miden lo mismo: 1. Por tanto, su perímetro es 3 y su semiperímetro es 2/3:

Calculamos el área:

 

Más información y temas relacionados: