Puntos equidistantes

Un punto P es equidistante de un conjunto de puntos x1, x2 … xn si la distancia de P a cada uno de estos puntos es la misma:

Explicamos el concepto de punto equidistante y proporcionamos ejemplos y problemas resueltos. ESO. Geometría. Matemáticas.

Ejemplo 1: El punto P = (0,1) es equidistante a los puntos x1 = (1, 1) y x2 = (2, 0):

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La distancia de P a los puntos estos puntos es 1.

Ejemplo 2: los puntos de la circunferencia de radio r y centro P es un conjunto de puntos equidistantes de P:

Explicamos el concepto de punto equidistante y proporcionamos ejemplos y problemas resueltos. ESO. Geometría. Matemáticas.

La distancia de todos los puntos de la circunferencia a su centro es igual al radio, r.

Ejemplo 3: en un cuadrado, los vértices equidistan del centro:

Explicamos el concepto de punto equidistante y proporcionamos ejemplos y problemas resueltos. ESO. Geometría. Matemáticas.

Observad que los vértices no son equidistantes entre sí.

 

Ejemplo 4: en un triángulo equilátero, los vértices son equidistantes entre sí:

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También, los vértices equidistan del ortocentro:

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Y además, los puntos medios de cada lado equidistan del ortocentro:

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Nota: el ortocentro es el punto donde intersectan las tres alturas del triángulo.

 

Más ejemplos y temas relacionados:

Distancia entre puntos del plano

La distancia entre dos puntos (a, b) y (x, y) del plano se define como

Explicamos cómo calcular la distancia entre dos puntos de la recta, del plano y del espacio reales Con ejemplos, representaciones y problemas resueltos. Matemáticas. ESO. Álgebra básica.

Como la distancia es una raíz cuadrada, es siempre mayor o igual que 0.

Ejemplo 1: la distancia entre los puntos (2, 2) y (2, 4) es 2:

Explicamos cómo calcular la distancia entre dos puntos de la recta, del plano y del espacio reales Con ejemplos, representaciones y problemas resueltos. Matemáticas. ESO. Álgebra básica.

Representación:

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Ejemplo 2: la distancia entre los puntos (-2, 6) y (-5, 2) es 5:

Explicamos cómo calcular la distancia entre dos puntos de la recta, del plano y del espacio reales Con ejemplos, representaciones y problemas resueltos. Matemáticas. ESO. Álgebra básica.

Representación:

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Fórmula de Herón

Seguramente la fórmula más utilizada para calcular el área, A,  de un triángulo cualquiera de altura h y base b es

Herón de Alejandría: biografía y la fórmula y el método de Herón (área de un triángulo y aproximación de raíces cuadradas)

Sin embargo, disponemos también de otra sencilla fórmula que se utiliza con menos frecuencia, la cual es función de la longitud de los lados del triángulo en lugar de su base y altura: la fórmula de Herón.

Fórmula de Herón

Dado un triángulo de lados a, b y c

Herón de Alejandría: biografía y la fórmula y el método de Herón (área de un triángulo y aproximación de raíces cuadradas)

Entonces, su área es

Herón de Alejandría: biografía y la fórmula y el método de Herón (área de un triángulo y aproximación de raíces cuadradas)

siendo s su semiperímetro, que es la mitad de la suma de sus lados:

Herón de Alejandría: biografía y la fórmula y el método de Herón (área de un triángulo y aproximación de raíces cuadradas)

Ejemplo: calculamos el área del triángulo equilátero de lado 1:

Herón de Alejandría: biografía y la fórmula y el método de Herón (área de un triángulo y aproximación de raíces cuadradas)

Como el triángulo es equilátero, sus tres lados miden lo mismo: 1. Por tanto, su perímetro es 3 y su semiperímetro es 2/3:

Calculamos el área:

 

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Semiperímetro

El perímetro de un polígono es la suma de todos sus lados.

El semiperímetro de un polígono es la mitad de su perímetro.

Aunque sea un concepto aparentemente poco útil, tiene algunas aplicaciones, razón por la que debemos conocerlo. Por ejemplo, el semiperímetro se utiliza para calcular el área de un triángulo mediante la fórmula de Herón.

Ejemplo 1

Herón de Alejandría: biografía y la fórmula y el método de Herón (área de un triángulo y aproximación de raíces cuadradas)

El perímetro de una triángulo equilátero cuyos lados miden 1 es 3. Por tanto, el semiperímetro es 1,5.

 

Ejemplo 2

Problemas resueltos de tetrágonos regulares (cuadrados): calcular perímetro, área y diagonales. Polígonos. Geometría plana. Secundaria.

El perímetro de un cuadrado de lado 4cm es 16cm. Por tanto, su semiperímetro es 8cm.

 

Ejemplo 3

Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.

El perímetro de un pentágono regular de lado 1,5 es 7,5. Por tanto, su semiperímetro es 3,75.

 

Ejemplo 4

El perímetro de un hexágono regular de lado 2 es 12. Por tanto, su semiperímetro es 6.

 

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Postulados de Euclides

Los cinco postulados de Euclides son 5 proposiciones no demostrables a partir de los cuales se fundamenta toda la geometría clásica. Fueron presentados en la obra Elementos, escrita 300 a. C.

Primer postulado

Por dos puntos distintos pasa una recta.

 

Representación gráfica:

Breve biografía de Euclides de Alejandría y enunciamos sus cinco postulados. Comentamos la importancia del quinto postulado y presentamos las geometrías que no lo consideran como axioma: las geometrías no euclídeas y las absolutas

Segundo postulado

Un segmento rectilíneo puede prolongarse continuamente en una recta.

 

Representación gráfica:

Breve biografía de Euclides de Alejandría y enunciamos sus cinco postulados. Comentamos la importancia del quinto postulado y presentamos las geometrías que no lo consideran como axioma: las geometrías no euclídeas y las absolutas

Tercer postulado

Hay una única circunferencia para cada centro y diámetro.

 

Representación gráfica:

Breve biografía de Euclides de Alejandría y enunciamos sus cinco postulados. Comentamos la importancia del quinto postulado y presentamos las geometrías que no lo consideran como axioma: las geometrías no euclídeas y las absolutas

Cuarto postulado

Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

 

Representación gráfica:

Breve biografía de Euclides de Alejandría y enunciamos sus cinco postulados. Comentamos la importancia del quinto postulado y presentamos las geometrías que no lo consideran como axioma: las geometrías no euclídeas y las absolutas

Quinto postulado

Al incidir una recta con otras dos, los ángulos internos del mismo lado son menores que el ángulo recto, las dos rectas, prolongadas indefinidamente, se encuentran en el lado en el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos.

 

Representación gráfica:

Breve biografía de Euclides de Alejandría y enunciamos sus cinco postulados. Comentamos la importancia del quinto postulado y presentamos las geometrías que no lo consideran como axioma: las geometrías no euclídeas y las absolutas

Este quinto postulado es mucho más complejo que los anteriores y, de hecho, suscitó polémica sobre si podía ser o no demostrado. Una versión equivalente y más sencilla de este postulado es:

Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela.

Representación gráfica:

Breve biografía de Euclides de Alejandría y enunciamos sus cinco postulados. Comentamos la importancia del quinto postulado y presentamos las geometrías que no lo consideran como axioma: las geometrías no euclídeas y las absolutas

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Sólidos platónicos

Los sólidos platónicos son las siguientes figuras:

Propiedades básicas y fichas descriptivas del tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Con el número de vértices, caras y aristas y las fórmulas del área y del volumen. Poliedros. Secundaria.

  • El tetraedro tiene 4 caras.
  • El hexaedro tiene 6 caras.
  • El octaedro tiene 8 caras.
  • El dodecaedro tiene 12 caras.
  • El icosaedro tiene 20 caras.

Los sólidos platónicos tienen propiedades comunes, por ejemplo:

  • Todas las caras son polígonos regulares iguales.
  • Todos los ángulos (diedros) son iguales.
  • Todas las aristas tienen la misma longitud.
  • En todos los vértices concurren el mismo número de caras y de aristas.

Y, seguramente, la propiedad más importante es:

  • Sólo existen cinco poliedros regulares y son los expuestos anteriormente.

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Teorema del seno

El teorema del seno es un conocido e importante resultado de trigonometría que dice así:

Sea un triángulo cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ (son los ángulos opuestos a los lados, respectivamente). Entonces, se cumple la relación

el teorema del seno (con demostración) y problemas resueltos de su aplicación: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Fórmula del área de un triángulo aplicando el teorema del seno.

Veamos dos ejemplos de aplicación:

Ejemplo 1: en el siguiente triángulo de lados a = 8cm y b = 7cm. Calcular cuánto mide el ángulo β sabiendo que el ángulo γ mide 45º.

el teorema del seno (con demostración) y problemas resueltos de su aplicación: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Fórmula del área de un triángulo aplicando el teorema del seno.

Como conocemos los lados a y b y el ángulo α, aplicamos el teorema del seno:

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Por tanto,

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Despejamos el seno de β:

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Finalmente, despejamos β utilizando la inversa del seno (arcoseno):

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Luego el ángulo es

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Ejemplo 2: se tiene un triángulo con ángulos α = 67° y β = 36° y un lado a = 6cm. ¿Cuánto mide el lado c?

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Para calcular el lado c necesitamos conocer el ángulo γ.

Recordemos que en todo triángulo la suma de sus ángulos internos es 180°, es decir, tenemos la ecuación:

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Despejamos el ángulo γ:

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Sustituimos los valores:

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Luego el ángulo es γ = 77º.

Ahora podemos aplicar el teorema del seno:

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Sustituimos los datos:

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Por tanto,

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Luego el lado c mide 6.35 cm.

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Teorema del coseno

Dado un triángulo cualquiera con lados a, b y c con ángulos interiores α, β y γ (son los ángulos opuestos a los lados, respectivamente). Entonces, se cumplen las relaciones siguientes:

El teorema del coseno (con demostración). Problemas resueltos de aplicación del teorema del coseno: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Problemas resueltos y explicados paso a paso. Trigonometría. Bachiller.

Ejemplo: se tiene un triángulo cuyos lados b y c miden 45 y 66 cm respectivamente y cuyo ángulo α mide 47°. Hallar cuánto mide el lado a del triángulo.

El teorema del coseno (con demostración). Problemas resueltos de aplicación del teorema del coseno: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Problemas resueltos y explicados paso a paso. Trigonometría. Bachiller.

Como queremos calcular el lado a del triángulo, aplicamos la siguiente fórmula del teorema del coseno:

El teorema del coseno (con demostración). Problemas resueltos de aplicación del teorema del coseno: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Problemas resueltos y explicados paso a paso. Trigonometría. Bachiller.

Tenemos los datos necesarios para calcular a, es decir, tenemos bc y al ángulo α. Por tanto, sustituyendo los datos y haciendo la raíz cuadrada obtenemos:

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Luego el lado a mide aproximadamente 48.27 cm.

Nota: al hacer la raíz cuadrada hay que escribir el signo ±, pero como a representa una longitud, debe ser positiva.

Nota 2: utilizamos el signo  para indicar que el valor de a es una aproximación.

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