Número de soluciones de un sistema de ecuaciones NO lineales

Recordad que el Teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema de ecuaciones lineales puede:

  • No tener solución (sistema incompatible).
  • Tener una única solución (sistema compatible determinado).
  • Tener infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado).

No ocurre lo mismo con los sistemas de ecuaciones NO lineales,  puesto que también puede darse el caso de que tengan un número finito de soluciones distintas, como mostramos en los dos siguientes ejemplos.

Ejemplo 1: sistema de 2 ecuaciones (una no lineal y otra lineal) con dos incógnitas:

Resolvemos tres sistemas de ecuaciones no lineales y comentamos las diferencias de este tipo de sistema con los sistemas de ecuaciones lineales. Con ejemplos explicados. Sistemas de ecuaciones no lineales resueltos. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

Este sistema tiene dos soluciones distintas:

Resolvemos tres sistemas de ecuaciones no lineales y comentamos las diferencias de este tipo de sistema con los sistemas de ecuaciones lineales. Con ejemplos explicados. Sistemas de ecuaciones no lineales resueltos. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

 

Ejemplo 2: sistema de 2 ecuaciones no lineales con dos incógnitas:

Resolvemos tres sistemas de ecuaciones no lineales y comentamos las diferencias de este tipo de sistema con los sistemas de ecuaciones lineales. Con ejemplos explicados. Sistemas de ecuaciones no lineales resueltos. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

Este sistema tiene 3 soluciones distintas:

Resolvemos tres sistemas de ecuaciones no lineales y comentamos las diferencias de este tipo de sistema con los sistemas de ecuaciones lineales. Con ejemplos explicados. Sistemas de ecuaciones no lineales resueltos. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

 

Lógicamente, el número de soluciones está relacionado con el tipo de ecuaciones implicadas en el sistema, pero sería difícil establecer una regla genérica. Cada sistema de ecuaciones no lineales es un caso especial.

La resolución de los sistemas anteriores podéis encontrarla en: sistemas de ecuaciones no lineales.

Temas relacionados:

Sistema de ecuaciones NO lineales

Las ecuaciones de un sistema de ecuaciones lineales tienen las incógnitas separadas en monomios distintos y sin exponentes.

Ejemplo 1: sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas (x e y):

Resolución de 6 sistemas de ecuaciones utilizando los métodos básicos: sustitución, igualación y reducción. Sistemas de ecuaciones para secundaria. ESO. Álgebra básica.

Ejemplo 2: sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas (x, y y z):

Explicamos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y los aplicamos para resolver 10 sistemas de ecuaciones. También, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible). Álgebra matricial, matrices. Bachillerato, Universidad. Matemáticas.

 

Existen métodos básicos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales:

Y algunos métodos más avanzados del álgebra matricial:

 

Sistema de ecuaciones NO lineales

Cuando las ecuaciones no son lineales, la resolución del sistema es más compleja. Generalmente, no existe un método concreto para resolverlo, debido a la diversidad de las ecuaciones implicadas.

Ejemplo 3: sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

Resolvemos tres sistemas de ecuaciones no lineales y comentamos las diferencias de este tipo de sistema con los sistemas de ecuaciones lineales. Con ejemplos explicados. Sistemas de ecuaciones no lineales resueltos. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

La primera ecuación no es lineal porque las incógnitas aparecen multiplicadas entre sí. La segunda ecuación sí es lineal.

En este caso en concreto, podemos resolver el sistema por sustitución.

Despejamos la x en la segunda ecuación:

Resolvemos tres sistemas de ecuaciones no lineales y comentamos las diferencias de este tipo de sistema con los sistemas de ecuaciones lineales. Con ejemplos explicados. Sistemas de ecuaciones no lineales resueltos. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

Sustituimos en la primera ecuación:

Resolvemos tres sistemas de ecuaciones no lineales y comentamos las diferencias de este tipo de sistema con los sistemas de ecuaciones lineales. Con ejemplos explicados. Sistemas de ecuaciones no lineales resueltos. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

Tenemos una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son y  = 0 e y = 3. Sustituimos en la ecuación x = 2y/3 para obtener x = 0 y x = 2. Por tanto, este sistema de ecuaciones tiene dos soluciones distintas:

Resolvemos tres sistemas de ecuaciones no lineales y comentamos las diferencias de este tipo de sistema con los sistemas de ecuaciones lineales. Con ejemplos explicados. Sistemas de ecuaciones no lineales resueltos. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

Gráfica: si representamos las dos ecuaciones, las dos soluciones son los puntos de intersección:

Resolvemos tres sistemas de ecuaciones no lineales y comentamos las diferencias de este tipo de sistema con los sistemas de ecuaciones lineales. Con ejemplos explicados. Sistemas de ecuaciones no lineales resueltos. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

 

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