teorema – Matemáticas fáciles

20 octubre, 202021 septiembre, 2021

Teorema de Rolle

En este post vamos a ver un importante teorema del cálculo diferencial: el teorema de Rolle.

Teorema de Rolle:

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto ]a, b[ y con f(a) = f(b). Entonces, existe al menos un punto c del intervalo abierto ]a, b[ que anula a la derivada de f, es decir, f'(c)=0.

Interpretación:

Como la función es continua y f(a) = f(b), entonces hay dos opciones:

La función es constante, es decir, f(x) = f(a) = f(b). En este caso, sabemos que la derivada de f se anula.
La función no es constante y, por tanto, presenta algún máximo o mínimo. En estos puntos (los máximos o mínimos) es donde se anula la derivada.

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23 junio, 202021 septiembre, 2021

Teorema del seno

El teorema del seno es un conocido e importante resultado de trigonometría que dice así:

Sea un triángulo cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ (son los ángulos opuestos a los lados, respectivamente). Entonces, se cumple la relación

Veamos dos ejemplos de aplicación:

Ejemplo 1: en el siguiente triángulo de lados a = 8cm y b = 7cm. Calcular cuánto mide el ángulo β sabiendo que el ángulo γ mide 45º.

Como conocemos los lados a y b y el ángulo α, aplicamos el teorema del seno:

Por tanto,

Despejamos el seno de β:

Finalmente, despejamos β utilizando la inversa del seno (arcoseno):

Luego el ángulo es

Ejemplo 2: se tiene un triángulo con ángulos α = 67° y β = 36° y un lado a = 6cm. ¿Cuánto mide el lado c?

Para calcular el lado c necesitamos conocer el ángulo γ.

Recordemos que en todo triángulo la suma de sus ángulos internos es 180°, es decir, tenemos la ecuación:

Despejamos el ángulo γ:

Sustituimos los valores:

Luego el ángulo es γ = 77º.

Ahora podemos aplicar el teorema del seno:

Sustituimos los datos:

Por tanto,

Luego el lado c mide 6.35 cm.

Más ejemplos y temas relacionados:

18 junio, 202012 septiembre, 2021

Teorema del coseno

Dado un triángulo cualquiera con lados a, b y c con ángulos interiores α, β y γ (son los ángulos opuestos a los lados, respectivamente). Entonces, se cumplen las relaciones siguientes:

Ejemplo: se tiene un triángulo cuyos lados b y c miden 45 y 66 cm respectivamente y cuyo ángulo α mide 47°. Hallar cuánto mide el lado a del triángulo.

Como queremos calcular el lado a del triángulo, aplicamos la siguiente fórmula del teorema del coseno:

Tenemos los datos necesarios para calcular a, es decir, tenemos b, c y al ángulo α. Por tanto, sustituyendo los datos y haciendo la raíz cuadrada obtenemos:

Luego el lado a mide aproximadamente 48.27 cm.

Nota: al hacer la raíz cuadrada hay que escribir el signo $\pm$ , pero como a representa una longitud, debe ser positiva.

Nota 2: utilizamos el signo $≃$ para indicar que el valor de a es una aproximación.

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