¿Existen funciones que no cortan los ejes de coordenadas?

Dada una función y = f(x), los puntos de su gráfica son (a, b) tal que b = f(a).

Eje vertical, Y

El posible punto que corta al eje vertical es (0, f(0)). Sin embargo, puede darse el caso de que x = 0 no sea un punto del dominio de y = f(x) (porque no existe la imagen de 0). Esto ocurre, por ejemplo, con la función f(x) = 1/x:

Eje horizontal, X

Los puntos que cortan al eje vertical son (a, 0) tales que f(a) = 0. Para hallar dichos puntos, sólo hay que resolver la ecuación f(x) = 0. Si dicha ecuación no tiene solución, entonces no hay punto de corte. Esto ocurre, por ejemplo, con la función f(x) = -x² +2x -2:

Función sin puntos de corte

Una función que no corte a los ejes debe cumplir las siguientes condiciones:

No existe imagen de x = 0.
La ecuación f(x) = 0 no tiene soluciones (reales).

La función f(x) = 1/x cumple estas condiciones y es un ejemplo de función que no corta a los ejes de coordenadas. Otros ejemplos:

- f(x) = 1/x²
- f(x) = 1 + |x|
- f(x) = 1 + √x

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¿Por qué no puede haber más de un punto de corte con el eje vertical?

Dada una función y = f(x), los puntos de su gráfica son (a, b) tal que b = f(a).

Como el eje de coordenadas vertical, Y, es el conjunto de puntos (0, y), entonces los puntos de la gráfica de y = f(x) que cortan a dicho eje son (0, f(0)).

Recordad que un número sólo puede tener una imagen y, como consecuencia, sólo hay una imagen de 0, f(0), y, por ende, un único punto (0, f(0)).

Ahora bien, puede darse el caso de que no existe la imagen de 0 por no ser éste un punto de su dominio. Por ejemplo, la función f(x) = 1/x no está definida para x = 0, puesto que no se puede dividir entre 0, por lo que dicha gráfica nunca corta al eje Y:

No ocurre lo mismo con el eje horizontal puesto que los puntos de la gráfica de y = f(x) que lo cortan son (a, 0) tales que f(a) = 0. Sí puede haber diferentes puntos del dominio cuya imagen sea 0 y podemos hallarlos resolviendo la ecuación f(x) = 0.

Por ejemplo, la gráfica de la función f(x) = x³-3x corta al eje vertical en tres puntos distintos:

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Puntos de corte con los ejes

Recordad que el eje vertical (Y) es el eje de las ordenadas; y el horizontal (X), el eje abscisas.

Recordad que los puntos de la gráfica de f son (a, b), siendo b = f(a).

La gráfica de una función puede cortar en uno o varios puntos a los ejes de coordenadas o no cortarlos. Más exactamente, SÓLO puede cortar al eje vertical en un punto y puede cortar al eje vertical en varios puntos.

A continuación, vamos a ver cómo calcular los puntos de corte con los ejes.

1. Punto de corte con el eje vertical Y

El eje vertical está situado cortando el eje horizontal X en el punto x = 0.

Esto significa que los puntos que están sobre el eje Y tienen un 0 en la primera coordenada.

Por tanto, el punto de corte de la gráfica de f con dicho eje, si existe, es el punto

La primera coordenada del punto es 0 y la segunda coordenada es la imagen de x = 0.

Ejemplo: calculamos el punto de corte de la gráfica de f(x) = x² + 2 con el eje Y:

Por tanto, el punto de corte es (0, 2).

Gráfica de la función:

No hay punto de corte con el eje Y si no existe f(0). Esto ocurre, por ejemplo, con la función f(x) = 1/x, ya que no se puede dividir entre 0, cuya gráfica es

2. Puntos de corte con el eje horizontal X

Los puntos situados sobre el eje horizontal X son los que tienen un 0 en la segunda coordenada: son los puntos (x, 0).

Es decir, la gráfica de f corta al eje X si existe algún x tal que f(x) = 0. Para calcular dichas x sólo tenemos que resolver la ecuación f(x) = 0.

Ejemplo: calculamos los puntos de corte de la gráfica de la función f(x) = x² – 9 con el eje X:

Tenemos dos soluciones y, por tanto, dos puntos de corte:

Gráfica de la función:

Otros ejemplos:

La función f(x) = 3x – 6 corta a los dos ejes en un punto:

La función f(x) = x³ -4x corta al eje horizontal en 3 puntos:

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Vértice de una parábola

Recordad que la función parábola tiene la forma

siendo a ≠ 0.

Si a>0, la parábola tiene forma de U.
Si a<0, la parábola tiene forma de $\cap$ .

Ejemplo: gráficas de las parábolas y = x2-1 (azul) e y = 2 -2x² (naranja)

En rojo se representan los puntos donde las dos parábolas se cortan.

Vértice de la parábola

El vértice de la parábola es el punto más bajo de la misma (si la parábola tiene forma de U) o el punto más alto (si la parábola tiene forma de $\cap$ ).

La primera coordenada del vértice de la parábola f(x) = ax² + bx + c es

Y la segunda coordenada es su imagen:

Ejemplo: calculamos el vértice de la parábola f(x) = -2x² + 3:

Identificamos los coeficientes:

Como a es negativo, la parábola tiene forma de $\cap$ . El vértice es un máximo.

La primera coordenada del vértice es

Calculamos la segunda coordenada:

Por tanto, el vértice es el punto

Gráfica:

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Teorema de Rolle

En este post vamos a ver un importante teorema del cálculo diferencial: el teorema de Rolle.

Teorema de Rolle:

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto ]a, b[ y con f(a) = f(b). Entonces, existe al menos un punto c del intervalo abierto ]a, b[ que anula a la derivada de f, es decir, f'(c)=0.

Interpretación:

Como la función es continua y f(a) = f(b), entonces hay dos opciones:

La función es constante, es decir, f(x) = f(a) = f(b). En este caso, sabemos que la derivada de f se anula.
La función no es constante y, por tanto, presenta algún máximo o mínimo. En estos puntos (los máximos o mínimos) es donde se anula la derivada.

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Cálculo de áreas (regla de Barrow)

La regla de Barrow

Sea F(x) una función primitiva de la función f(x), es decir, la derivada de F(x) es f(x). Entonces, la regla de Barrow establece que la integral definida de f(x) en el intervalo [a, b] es F(b)-F(a):

Ejemplo: la función F(x) = x² es una primitiva de la función f(x) = 2x. Por tanto, por la regla de Barrow, la integral definida de f(x) en el intervalo [0, 1] es

F(1) – F(0) = 1² – 0² = 1

Aplicaciones

La gran aplicación de la regla de Barrow es el cálculo del área que encierra la gráfica de una función con el eje de abscisas.

Supongamos, para simplificar los cálculos, que la función f(x) tiene su gráfica por encima del eje de abscisas para a ≤ x ≤ b:

Entonces, el área de la región encerrada entre la gráfica de f(x) y el eje de abscisas en el intervalo [a, b] es la integral definida de f(x) en [a, b], que por la regla de Barrow sabemos que es F(b)-F(a).

En el ejemplo anterior hemos calculado que el área encerrada por la gráfica de f(x) = 2x en [0, 1] es 1 .

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