Encontrar la parábola a partir de su gráfica

Observando la gráfica de una parábola podemos obtener la siguiente información:

Las coordenadas del vértice.
Las coordenadas de 3 puntos distintos de la gráfica.
Los puntos de corte con el eje abscisas.

Esta información es suficiente para hallar la ecuación de una parábola, la cual tiene la forma

siendo a ≠ 0.

Ahora, recordamos algunos conceptos que nos ayudarán a obtener los coeficientes a, b y c a partir de la gráfica de la parábola.

Vértice

Todas las parábolas tienen forma de $\cup$ (si a>0) o de $\cap$ (si a<0). En cualquier caso, el punto más alto o máximo (si a>0) o el punto más bajo o mínimo (si a<0) de la parábola es el punto cuya primera coordenada es

Ejemplo de una parábola con forma de $\cup$ (verde) y otra con forma de $\cap$ (azul):

Raíces

Los puntos (α, 0) de la parábola cortan al eje de abscisas. Una parábola puede tener 1, 2 o ningún punto de corte con este eje. Se pueden dar 3 casos.

Caso 1:

La parábola tiene dos raíces (reales) distintas: α y β. Entonces, se cumple la siguiente igualdad:

Caso 2:

La parábola tiene una única raíz (real): α. Entonces, se cumple que

Caso 3:

La parábola no tiene raíces. En este caso, no podemos usar las raíces para encontrar la ecuación.

Obtener la ecuación

Una forma de obtener la ecuación de la parábola es hacerlo resolviendo un sistema de ecuaciones lineales a partir de 3 puntos distintos de la parábola. Sin embargo, este método puede ser engorroso, así que es preferible utilizar las propiedades vistas anteriormente: coordenadas del vértice, puntos de corte, etc.

Ejemplo 1: encontrar la ecuación de la parábola que corta al eje de las abscisas en los puntos (1, 0) y (3, 0) y que pasa al eje de ordenadas en el punto (0, 9).

De los puntos de corte con el eje de abscisas sabemos que las raíces de la función parabólica son x = 1 y x = 3. Por tanto, la ecuación de la parábola es

Falta conocer el coeficiente $a$ , pero podemos hallarlo sabiendo que la parábola pasa por el punto (0, 9). Sólo tenemos que sustituir las coordenadas:

Por tanto, la ecuación de la parábola es

O bien, si calculamos los productos,

Gráfica:

Ejemplo 2: hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en el punto (1, 1) y que pasa por el punto (0, -3).

Sabemos que la primera coordenada del vértice es

Por tanto, como el vértice está en (1, 1), tenemos

Por otro lado, podemos sustituir las coordenadas del punto (0, -3) en la ecuación general de la parábola:

Sustituimos $c = - 3$ y $b = - 2 a$ n la ecuación:

Nos falta hallar el coeficiente $a$ , pero también podemos sustituir las coordenadas del vértice (1, 1) en la ecuación:

Luego la ecuación de la parábola es

Gráfica:

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¿Existen funciones que no cortan los ejes de coordenadas?

Dada una función y = f(x), los puntos de su gráfica son (a, b) tal que b = f(a).

Eje vertical, Y

El posible punto que corta al eje vertical es (0, f(0)). Sin embargo, puede darse el caso de que x = 0 no sea un punto del dominio de y = f(x) (porque no existe la imagen de 0). Esto ocurre, por ejemplo, con la función f(x) = 1/x:

Eje horizontal, X

Los puntos que cortan al eje vertical son (a, 0) tales que f(a) = 0. Para hallar dichos puntos, sólo hay que resolver la ecuación f(x) = 0. Si dicha ecuación no tiene solución, entonces no hay punto de corte. Esto ocurre, por ejemplo, con la función f(x) = -x² +2x -2:

Función sin puntos de corte

Una función que no corte a los ejes debe cumplir las siguientes condiciones:

No existe imagen de x = 0.
La ecuación f(x) = 0 no tiene soluciones (reales).

La función f(x) = 1/x cumple estas condiciones y es un ejemplo de función que no corta a los ejes de coordenadas. Otros ejemplos:

- f(x) = 1/x²
- f(x) = 1 + |x|
- f(x) = 1 + √x

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¿Por qué no puede haber más de un punto de corte con el eje vertical?

Dada una función y = f(x), los puntos de su gráfica son (a, b) tal que b = f(a).

Como el eje de coordenadas vertical, Y, es el conjunto de puntos (0, y), entonces los puntos de la gráfica de y = f(x) que cortan a dicho eje son (0, f(0)).

Recordad que un número sólo puede tener una imagen y, como consecuencia, sólo hay una imagen de 0, f(0), y, por ende, un único punto (0, f(0)).

Ahora bien, puede darse el caso de que no existe la imagen de 0 por no ser éste un punto de su dominio. Por ejemplo, la función f(x) = 1/x no está definida para x = 0, puesto que no se puede dividir entre 0, por lo que dicha gráfica nunca corta al eje Y:

No ocurre lo mismo con el eje horizontal puesto que los puntos de la gráfica de y = f(x) que lo cortan son (a, 0) tales que f(a) = 0. Sí puede haber diferentes puntos del dominio cuya imagen sea 0 y podemos hallarlos resolviendo la ecuación f(x) = 0.

Por ejemplo, la gráfica de la función f(x) = x³-3x corta al eje vertical en tres puntos distintos:

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Puntos de corte con los ejes

Recordad que el eje vertical (Y) es el eje de las ordenadas; y el horizontal (X), el eje abscisas.

Recordad que los puntos de la gráfica de f son (a, b), siendo b = f(a).

La gráfica de una función puede cortar en uno o varios puntos a los ejes de coordenadas o no cortarlos. Más exactamente, SÓLO puede cortar al eje vertical en un punto y puede cortar al eje vertical en varios puntos.

A continuación, vamos a ver cómo calcular los puntos de corte con los ejes.

1. Punto de corte con el eje vertical Y

El eje vertical está situado cortando el eje horizontal X en el punto x = 0.

Esto significa que los puntos que están sobre el eje Y tienen un 0 en la primera coordenada.

Por tanto, el punto de corte de la gráfica de f con dicho eje, si existe, es el punto

La primera coordenada del punto es 0 y la segunda coordenada es la imagen de x = 0.

Ejemplo: calculamos el punto de corte de la gráfica de f(x) = x² + 2 con el eje Y:

Por tanto, el punto de corte es (0, 2).

Gráfica de la función:

No hay punto de corte con el eje Y si no existe f(0). Esto ocurre, por ejemplo, con la función f(x) = 1/x, ya que no se puede dividir entre 0, cuya gráfica es

2. Puntos de corte con el eje horizontal X

Los puntos situados sobre el eje horizontal X son los que tienen un 0 en la segunda coordenada: son los puntos (x, 0).

Es decir, la gráfica de f corta al eje X si existe algún x tal que f(x) = 0. Para calcular dichas x sólo tenemos que resolver la ecuación f(x) = 0.

Ejemplo: calculamos los puntos de corte de la gráfica de la función f(x) = x² – 9 con el eje X:

Tenemos dos soluciones y, por tanto, dos puntos de corte:

Gráfica de la función:

Otros ejemplos:

La función f(x) = 3x – 6 corta a los dos ejes en un punto:

La función f(x) = x³ -4x corta al eje horizontal en 3 puntos:

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Pendiente de una recta

Las rectas son las funciones que tienen la siguiente forma:

donde m y n son números constantes:

m es la pendiente de la recta
n es la ordenada en el origen

La pendiente de una recta tiene cierta importancia puesto que nos informa de algunas propiedades de la recta. Por ejemplo,

Si es positiva, la recta es creciente. Si es negativa, es decreciente.
Si la pendiente es m = 0, entonces se trata de una recta constante, es decir, una recta horizontal paralela al eje de las abscisas.
Cuanto mayor es |m|, mayor es el crecimiento/decrecimiento de la recta, es decir, cuanto mayor es |m|, más inclinada es la recta.
Dos rectas con la misma pendiente son paralelas.

Ejemplo 1: gráficas de las rectas y = 2x + 1 (azul) e y = x + 1 (rojo)

Como las dos pendientes (m = 2 y m = 1) son positivas, las rectas son crecientes. Además, la que tiene mayor pendiente (azul) crece más rápido (está más inclinada).

Ejemplo 2: gráficas de las rectas y = 2x + 1 (azul) e y = 2x – 1 (rojo)

Como ambas rectas tienen la misma pendiente (m = 2), son paralelas.

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Cálculo de áreas (regla de Barrow)

La regla de Barrow

Sea F(x) una función primitiva de la función f(x), es decir, la derivada de F(x) es f(x). Entonces, la regla de Barrow establece que la integral definida de f(x) en el intervalo [a, b] es F(b)-F(a):

Ejemplo: la función F(x) = x² es una primitiva de la función f(x) = 2x. Por tanto, por la regla de Barrow, la integral definida de f(x) en el intervalo [0, 1] es

F(1) – F(0) = 1² – 0² = 1

Aplicaciones

La gran aplicación de la regla de Barrow es el cálculo del área que encierra la gráfica de una función con el eje de abscisas.

Supongamos, para simplificar los cálculos, que la función f(x) tiene su gráfica por encima del eje de abscisas para a ≤ x ≤ b:

Entonces, el área de la región encerrada entre la gráfica de f(x) y el eje de abscisas en el intervalo [a, b] es la integral definida de f(x) en [a, b], que por la regla de Barrow sabemos que es F(b)-F(a).

En el ejemplo anterior hemos calculado que el área encerrada por la gráfica de f(x) = 2x en [0, 1] es 1 .

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Interpretación geométrica de las ecuaciones

Comúnmente, se considera la solución de una ecuación como el valor que debe tomar x para que la igualdad de la ecuación se cumpla. Sin embargo, podemos ver una ecuación como una igualdad entre dos funciones. Para que sea más sencillo de explicar y entender, nos ayudaremos de un ejemplo.

Recordad que la gráfica de una función f es el conjunto de puntos (x, f(x)). Teniendo esto en cuenta, si la gráfica de la función f y de la función g se cortan, lo hacen en un punto común (a, b) siendo b = f(a) = g(a).

Ejemplo

Sea la ecuación de primer grado

Consideremos esta ecuación como una igualdad entre dos funciones:

Lógicamente, las funciones f y g son

Como f(x) es la imagen de x mediante f y g(x) es la imagen de x mediante g, al igualar f(x) = g(x), estamos igualando las imágenes de x mediante f y g. Por tanto, la solución de la ecuación f(x) = g(x) son los valores que debe tomar x para que f(x) = g(x) y son, por ende, las primeras coordenadas de los puntos de corte entre las gráficas de f y g.

Resolvemos la ecuación del ejemplo:

Como la ecuación sólo tiene una solución, las gráficas de f y de g se cortan en un único punto: el punto cuya primera coordenada es x = 1. Calculamos la segunda coordenada de dicho punto:

Luego el punto de corte de las gráficas de f y de g es (1, 1).

Gráficas:

Al considerar una ecuación como una igualdad entre funciones para hallar sus puntos de corte, es fácil ver que pueden darse las siguientes situaciones:

Una ecuación puede no tener solución (real). Ocurre cuando las dos gráficas no se cortan:

Una ecuación puede tener una única solución. Ocurre cuando las dos gráficas se cortan en un único punto:

Una ecuación puede tener varias soluciones. Ocurre cuando las dos gráficas se cortan en varios puntos:

Una ecuación puede tener infinitas soluciones. Ocurre cuando las dos gráficas son iguales (se cortan en todos sus puntos) o cuando se cortan en infinitos puntos pero no en todos:

Ahora bien, el número de soluciones dependerá de las funciones implicadas.

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