Encontrar la parábola a partir de su gráfica

Observando la gráfica de una parábola podemos obtener la siguiente información:

  • Las coordenadas del vértice.
  • Las coordenadas de 3 puntos distintos de la gráfica.
  • Los puntos de corte con el eje abscisas.

Esta información es suficiente para hallar la ecuación de una parábola, la cual tiene la forma

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

siendo a ≠ 0.

Ahora, recordamos algunos conceptos que nos ayudarán a obtener los coeficientes a, b y c a partir de la gráfica de la parábola.

Vértice

Todas las parábolas tienen forma de  (si a>0) o de  (si a<0). En cualquier caso, el punto más alto o máximo (si a>0) o el punto más bajo o mínimo (si a<0) de la parábola es el punto cuya primera coordenada es

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Ejemplo de una parábola con forma de  (verde) y otra con forma de  (azul):

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Raíces

Los puntos (α, 0) de la parábola cortan al eje de abscisas. Una parábola puede tener 1, 2 o ningún punto de corte con este eje. Se pueden dar 3 casos.

Caso 1:

La parábola tiene dos raíces (reales) distintas: α y β. Entonces, se cumple la siguiente igualdad:

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Caso 2:

La parábola tiene una única raíz (real): α. Entonces, se cumple que

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Caso 3:

La parábola no tiene raíces. En este caso, no podemos usar las raíces para encontrar la ecuación.

Obtener la ecuación

Una forma de obtener la ecuación de la parábola es hacerlo resolviendo un sistema de ecuaciones lineales a partir de 3 puntos distintos de la parábola. Sin embargo, este método puede ser engorroso, así que es preferible utilizar las propiedades vistas anteriormente: coordenadas del vértice, puntos de corte, etc.

Ejemplo 1: encontrar la ecuación de la parábola que corta al eje de las abscisas en los puntos (1, 0) y (3, 0) y que pasa al eje de ordenadas en el punto (0, 9).

De los puntos de corte con el eje de abscisas sabemos que las raíces de la función parabólica son x = 1 y x = 3. Por tanto, la ecuación de la parábola es

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Falta conocer el coeficiente , pero podemos hallarlo sabiendo que la parábola pasa por el punto (0, 9). Sólo tenemos que sustituir las coordenadas:

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Por tanto, la ecuación de la parábola es

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

O bien, si calculamos los productos,

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Gráfica:

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Ejemplo 2: hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en el punto (1, 1) y que pasa por el punto (0, -3).

Sabemos que la primera coordenada del vértice es

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Por tanto, como el vértice está en (1, 1), tenemos

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Por otro lado, podemos sustituir las coordenadas del punto (0, -3) en la ecuación general de la parábola:

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Sustituimos  y n la ecuación:

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Nos falta hallar el coeficiente , pero también podemos sustituir las coordenadas del vértice (1, 1) en la ecuación:

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Luego la ecuación de la parábola es

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Gráfica:

Explicamos cómo encontrar la ecuación de una parábola en distintas situaciones: conociendo puntos de su gráfica, el vértice, puntos de corte, etc. Con ejemplos y problemas resueltos explicados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Más ejemplos y temas relacionados:

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.