Ejemplos de continuidad de funciones con raíces

Vimos en continuidad de funciones que una una función con una raíz cuadrada es continua en los reales para los que el radicando es no negativo. A continuación vamos a ver algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

Tenemos que buscar los puntos para los cuales el radicando es es positivo.

Igualamos el radicando a 0 y resolvemos la ecuación:

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Estas dos soluciones dividen la recta real en tres intervalos:

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En uno o dos de estos intervalos, el radicando de la función es no negativo. Para saber cuál es, sólo tenemos que escoger algún punto al azar de cada intervalo.

Primer intervalo:

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Segundo intervalo:

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Tercer intervalo:

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Por tanto, el radicando es no negativo en el primer y tercer intervalo. Luego la función es continua en

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Observad que incluimos los puntos x=2 y x=-2 porque para estos valores el radicando es 0.

Gráfica:

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Ejemplo 2

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

  • El radicando de la raíz debe ser no negativo.
  • El denominador tiene que ser distinto de 0.

Igualamos el radicando a 0:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Hay que estudiar el signo del radicando los intervalos siguientes:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Dando valores, el radicando es no negativo en el primer y tercer intervalo.

Factorizamos el denominador:

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Aplicamos la regla de Ruffini para hallar las soluciones del polinomio de tercer grado:

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Por tanto,

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Tenemos que excluir los puntos 0, 1 y -1.

El dominio es el conjunto de los reales excepto el intervalo [-1, 1]. La función es continua en su dominio.

Gráfica:

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Ejemplo 3

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

  • El argumento del logaritmo debe ser positivo.
  • El radicando debe ser no negativo.
  • El denominador debe ser no nulo.

Aplicando las propiedades de los logaritmos,

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

De este modo, es fácil ver que deben cumplirse las siguientes inecuaciones:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Se cumplen ambas sólo si x>1.

Así, pues, el dominio de la función es ]1, +∞[. La función es continua en su dominio.

Gráfica:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

 

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