Ejemplos de continuidad de funciones con raíces

Vimos en continuidad de funciones que una una función con una raíz cuadrada es continua en los reales para los que el radicando es no negativo. A continuación vamos a ver algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

Tenemos que buscar los puntos para los cuales el radicando es es positivo.

Igualamos el radicando a 0 y resolvemos la ecuación:

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Estas dos soluciones dividen la recta real en tres intervalos:

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En uno o dos de estos intervalos, el radicando de la función es no negativo. Para saber cuál es, sólo tenemos que escoger algún punto al azar de cada intervalo.

Primer intervalo:

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Segundo intervalo:

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Tercer intervalo:

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Por tanto, el radicando es no negativo en el primer y tercer intervalo. Luego la función es continua en

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Observad que incluimos los puntos x=2 y x=-2 porque para estos valores el radicando es 0.

Gráfica:

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Ejemplo 2

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

  • El radicando de la raíz debe ser no negativo.
  • El denominador tiene que ser distinto de 0.

Igualamos el radicando a 0:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Hay que estudiar el signo del radicando los intervalos siguientes:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Dando valores, el radicando es no negativo en el primer y tercer intervalo.

Factorizamos el denominador:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Aplicamos la regla de Ruffini para hallar las soluciones del polinomio de tercer grado:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Por tanto,

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Tenemos que excluir los puntos 0, 1 y -1.

El dominio es el conjunto de los reales excepto el intervalo [-1, 1]. La función es continua en su dominio.

Gráfica:

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Ejemplo 3

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

  • El argumento del logaritmo debe ser positivo.
  • El radicando debe ser no negativo.
  • El denominador debe ser no nulo.

Aplicando las propiedades de los logaritmos,

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De este modo, es fácil ver que deben cumplirse las siguientes inecuaciones:

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Se cumplen ambas sólo si x>1.

Así, pues, el dominio de la función es ]1, +∞[. La función es continua en su dominio.

Gráfica:

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Más ejemplos en

 

Ejemplos de continuidad de funciones racionales

Vimos en continuidad de funciones que una una función racional es continua en los reales que no anulan su denominador. A continuación vamos a ver varios ejemplos.

Ejemplo 1

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Como es una función racional, el dominio es el conjunto de los reales excepto donde se anula el denominador. Para hallar estos puntos, igualamos el denominador a 0 y resolvemos la ecuación:

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Por tanto, el dominio es el conjunto de los reales excepto en los puntos -3 y 3. La función es continua en todo su dominio.

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Ejemplo 2

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Observaciones:

  • El radicando de la raíz debe ser no negativo.
  • El denominador tiene que ser distinto de 0.

Igualamos el radicando a 0:

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Hay que estudiar el signo del radicando los intervalos siguientes:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Dando valores, el radicando es no negativo en el primer y tercer intervalo.

Factorizamos el denominador:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Aplicamos la regla de Ruffini para hallar las soluciones del polinomio de tercer grado:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Por tanto,

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Tenemos que excluir los puntos 0, 1 y -1 del dominio.

El dominio es el conjunto de los reales excepto el intervalo [-1, 1]. La función es continua en su dominio.

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

 

Más ejemplos en

Área y volumen de la pirámide cuadrada

Una pirámide cuadrada (o cuadrangular) es una pirámide con base cuadrada. Este poliedro tiene 5 caras (1 base y 4 caras laterales), 8 aristas y 5 vértices:

Calcular el área y el volumen de una pirámide cuadrada. Definición de pirámide cuadrada y demostración de las fórmulas del área y volumen de la misma. Matemáticas. Geometría. Secundaria. Bachillerato. Calculadora online.

  • h es la altura de la pirámide
  • L es el lado del cuadrado de la base
  • a son las aristas laterales

La pirámide es recta cuando la proyección del vértice superior sobre la base coincide con su centro. Si no, la pirámide es oblicua:

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Nosotros supondremos siempre que la pirámide es recta.

Área de la pirámide

El área de una pirámide cuadrada de lado L y altura h es

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Desarrollo plano de la pirámide:

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Volumen de la pirámide

El volumen de la pirámide cuadrada de lado L y altura h es

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Nota: esta fórmula sirve para la pirámide oblicua.

 

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Área y volumen de la pirámide triangular (tetraedro)

Un tetraedro o pirámide triangular es un poliedro formado por 4 caras triangulares, 6 aristas y 4 vértices:

Calculadora del área y volumen del tetraedro o pirámide triangular (regular o no regular con base regular). También, definimos tetraedro, calculamos la altura del tetraedro regular y demostramos las fórmulas del área y del volumen. Calculadora online. Matemáticas. Geometría.

El tetraedro es regular cuando todas las caras son triángulos equiláteros de igual lado:

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Área del tetraedro

El área de un tetraedro de altura h y cuya base es un triángulo equilátero de lado L es

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El área de un tetraedro regular de lado L es

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Volumen del tetraedro

El volumen de un tetraedro de altura h y cuya base es un triángulo equilátero de lado L es

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El volumen de un tetraedro regular de lado L es

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Área y volumen del casquete esférico

Un casquete esférico es la figura geométrica obtenida al cortar una esfera con un plano:

Calcular el área y el volumen de un casquete esférico. Definición de casquete esférico y demostración de las fórmulas del área y volumen del mismo. Matemáticas. Geometría. Secundaria. Bachillerato. Calculadora online.

El plano de corte debe ser perpendicular al segmento que une los polos de la esfera.

Si la altura del corte (h) es igual al radio de la esfera (R), entonces el casquete es un hemisferio.

Elementos 

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  • R es el radio de la esfera
  • a es el radio de la base del casquete esférico
  • h es la altura del casquete esférico

Área del casquete esférico 

El área del casquete esférico de altura h y con base de radio a de la esfera de radio R es

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O bien,

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Volumen del casquete esférico

El volumen del casquete esférico de altura h y con base de radio a de la esfera de radio R es

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Área y volumen del prisma cuadrangular regular

Un prisma cuadrangular (o rectangular) es un prisma cuyas bases son paralelogramos (cuadrado, rectángulo, rombo o romboide) iguales.

Calculadoras online del área y volumen del prisma cuadrangular o rectangular y romboidal. También, definimos prisma cuadrangular (y romboidal) recto y oblicuo y demostramos las fórmulas de su área y volumen. Matemáticas. Geometría.

Normalmente, si la base es un cuadrado o rectángulo, se denomina prisma cuadrangular. Si es un rombo o romboide, se denomina prisma romboidal.

Área del prisma cuadrangular

El área de un prisma cuadrangular recto de altura h cuya base es un rectángulo de lados a y b es

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Volumen del prisma cuadrangular

El volumen de un prisma cuadrangular recto de altura h cuya base es un rectángulo de lados a y b es

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Área y volumen del prisma triangular regular

Un prisma triangular es un prisma cuyas bases son triángulos. Es regular si las bases son triángulos equiláteros iguales:

Calculadora online del área y volumen del prisma triangular regular y no regular. También, definimos prisma triangular y demostramos las fórmulas de su área y volumen. Matemáticas. Geometría.

Elementos del prisma

Un prisma triangular tiene 5 caras (2 bases y 3 caras laterales), 9 aristas y 6 vértices:

Calculadora online del área y volumen del prisma triangular regular y no regular. También, definimos prisma triangular y demostramos las fórmulas de su área y volumen. Matemáticas. Geometría.

Área del prisma triangular

El área de un prisma triangular regular recto de altura h y cuya base es un triángulo equilátero de lado L es

Calculadora online del área y volumen del prisma triangular regular y no regular. También, definimos prisma triangular y demostramos las fórmulas de su área y volumen. Matemáticas. Geometría.

Volumen del prisma triangular

El volumen de un prisma triangular regular recto de altura h y cuya base es un triángulo equilátero de lado L es

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Área y volumen del tronco de cono

Un tronco de cono recto (o cono recto truncado) con base circular es el cuerpo geométrico que se genera al hacer girar un trapecio rectangular alrededor de su lado perpendicular a la base:

Calculadora online del área y volumen del tronco de cono a partir de sus radios y su altura o generatriz. También, definimos tronco de cono, enumeramos sus elementos y demostramos las fórmulas de su área y volumen. Matemáticas. Geometría.

Elementos del tronco de cono

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Área del tronco de cono

El área del tronco de cono circular recto con radios R1 y R2 y generatriz a es

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Volumen del tronco de cono

El volumen del tronco de cono circular recto con radios R1 y R2 y altura h es

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Área y volumen del cilindro

Elementos del cilindro

Calculadoras online para calcular el área y el volumen de un cilindro recto y oblicuo. Con fórmulas y problemas resueltos. ESO. Secundaria. Geometría. Matemáticas

Área del cilindro

El área del cilindro de radio R y altura h es

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Volumen del cilindro

El volumen del cilindro de radio R y altura h es

Calculadoras online para calcular el área y el volumen de un cilindro recto y oblicuo. Con fórmulas y problemas resueltos. ESO. Secundaria. Geometría. Matemáticas

 

Ejemplo:  Calcular el área y el volumen de un cilindro de radio R = 3 cm y altura h = 1 m

El radio es R = 3 cm.

Como la altura está escrita en metros y el radio en centímetros, tenemos que cambiar una de las unidades.

Pasamos la altura a centímetros:

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Calculamos el área:

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El área es, aproximadamente, 1941.51 cm2.

Calculamos el volumen:

Calculadoras online para calcular el área y el volumen de un cilindro recto y oblicuo. Con fórmulas y problemas resueltos. ESO. Secundaria. Geometría. Matemáticas

El volumen es, aproximadamente, 2827.43 cm3.

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Área y volumen del cono

Un cono es el cuerpo geométrico que se genera al hacer girar un triángulo rectángulo (generatriz) sobre uno de sus catetos:

Calcular el área y volumen de un cono recto con base circular a partir de distintos la altura, altura inclinada, radio y apertura. También, demostramos las fórmulas del área y del volumen y resolvemos algunos problemas de aplicación. Geometría.

Este cono es, en concreto, un cono recto con base circular. Existen otros tipos de conos, como el cono con base elíptica o el cono oblicuo (la altura no forma un ángulo recto con la base).

Elementos del cono

Calcular el área y volumen de un cono recto con base circular a partir de distintos la altura, altura inclinada, radio y apertura. También, demostramos las fórmulas del área y del volumen y resolvemos algunos problemas de aplicación. Geometría.

Área del cono

El área del cono de radio R y altura inclinada a es

Calcular el área y volumen de un cono recto con base circular a partir de distintos la altura, altura inclinada, radio y apertura. También, demostramos las fórmulas del área y del volumen y resolvemos algunos problemas de aplicación. Geometría.

También, podemos utilizar la siguiente fórmula con la altura del cono en lugar de la altura inclinada:

Calcular el área y volumen de un cono recto con base circular a partir de distintos la altura, altura inclinada, radio y apertura. También, demostramos las fórmulas del área y del volumen y resolvemos algunos problemas de aplicación. Geometría.

Volumen del cono

El volumen del cono de radio R y altura h es

Calcular el área y volumen de un cono recto con base circular a partir de distintos la altura, altura inclinada, radio y apertura. También, demostramos las fórmulas del área y del volumen y resolvemos algunos problemas de aplicación. Geometría.

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