Teoría y ejercicios resueltos de matemáticas
Un hexágono es un polígono de 6 lados y 6 vértices. Es regular si todos los lados miden lo mismo y los ángulos interiores son de 120º:
La apotema de un hexágono regular de lado L es
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Un pentágono es un polígono de 5 lados y 5 vértices. Es regular si todos los lados miden lo mismo y los ángulos interiores son de 108º:
La apotema (ap) de un polígono regular es la distancia de cualquiera de sus lados al centro del polígono:
Observad que la apotema une el punto medio de cada lado con el centro del polígono.
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Básicamente, existen cuatro fórmulas para calcular el área:
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Un rectángulo es un polígono de 4 lados (cuadrilátero), de modo que los lados opuestos son paralelos e iguales y los lados contiguos forman ángulos rectos:
Un caso especial de rectángulo es el cuadrado:
Un cuadrado es un rectángulo cuyos lados tienen la misma longitud (se trata de un cuadrilátero regular).
El perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados, así que el perímetro de un rectángulo de altura a y base b es
El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura:
Ejemplo: ¿Cuál es el área de un rectángulo de perímetro 18cm si su altura mide 2cm?
La altura del rectángulo es a = 2.
La fórmula del perímetro es
Sustituimos P = 18 y a = 2 y resolvemos la ecuación:
La base es b = 7.
Calculamos el área del rectángulo:
El área del rectángulo es 14 cm2.
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Sea F(x) una función primitiva de la función f(x), es decir, la derivada de F(x) es f(x). Entonces, la regla de Barrow establece que la integral definida de f(x) en el intervalo [a, b] es F(b)-F(a):
Ejemplo: la función F(x) = x2 es una primitiva de la función f(x) = 2x. Por tanto, por la regla de Barrow, la integral definida de f(x) en el intervalo [0, 1] es
F(1) – F(0) = 12 – 02 = 1
La gran aplicación de la regla de Barrow es el cálculo del área que encierra la gráfica de una función con el eje de abscisas.
Supongamos, para simplificar los cálculos, que la función f(x) tiene su gráfica por encima del eje de abscisas para a ≤ x ≤ b:
Entonces, el área de la región encerrada entre la gráfica de f(x) y el eje de abscisas en el intervalo [a, b] es la integral definida de f(x) en [a, b], que por la regla de Barrow sabemos que es F(b)-F(a).
En el ejemplo anterior hemos calculado que el área encerrada por la gráfica de f(x) = 2x en [0, 1] es 1 .
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El hexágono regular es el polígono regular de 6 lados.
Es decir, es el polígono que tiene 6 lados que miden lo mismo y sus ángulos internos miden 120º cada uno.
Lógicamente, el perímetro del hexágono regular de lado L es 6·L.
Para calcular el área necesitamos el lado, L, y el apotema, ap:
Ejemplo de aplicación: si el lado de un hexágono regular mide 6cm y su apotema mide 5.2cm,¿cuál es el perímetro y el área de dicho hexágono?
Los datos que tenemos son el lado y la apotema:
El perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados. Como el hexágono es regular, todos sus 6 lados miden lo mismo, así que su perímetro es
La fórmula del área del hexágono regular es
Como tenemos el lado y la apotema, sólo tenemos que sustituirlos en la fórmula:
Nota: no olvidemos que las unidades del área son al cuadrado.
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Un pentágono regular es un polígono regular de 5 lados.
Los 5 lados del pentágono regular miden lo mismo y sus ángulos interiores miden 108º.
Como tiene 5 lados iguales, el perímetro de un pentágono regular de lado L es P = 5·L.
Para calcular el área del pentágono regular se necesita su lado, L, y su apotema, ap:
Ejemplo de aplicación: Si el área de un pentágono regular es 5m2 y su apotema mide 1.17m, ¿Cuánto miden sus lados?
Como el pentágono es regular, su área viene dada por la fórmula
Como sabemos que el área es 5m2 y que la apotema mide 1.17m, al sustituir en la fórmula anterior, tenemos
De la expresión anterior podemos despejar L, que es la longitud de los lados del pentágono:
Como el área es en metros cuadrados, la medida obtenida es en metros.
Luego los lados del pentágono miden 1.71m.
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Una pirámide cuadrada (o cuadrangular) es una pirámide con base cuadrada. Este poliedro tiene 5 caras (1 base y 4 caras laterales), 8 aristas y 5 vértices:
La pirámide es recta cuando la proyección del vértice superior sobre la base coincide con su centro. Si no, la pirámide es oblicua:
Nosotros supondremos siempre que la pirámide es recta.
El área de una pirámide cuadrada de lado L y altura h es
Desarrollo plano de la pirámide:
El volumen de la pirámide cuadrada de lado L y altura h es
Nota: esta fórmula sirve para la pirámide oblicua.
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Un tetraedro o pirámide triangular es un poliedro formado por 4 caras triangulares, 6 aristas y 4 vértices:
El tetraedro es regular cuando todas las caras son triángulos equiláteros de igual lado:
El área de un tetraedro de altura h y cuya base es un triángulo equilátero de lado L es
El área de un tetraedro regular de lado L es
El volumen de un tetraedro de altura h y cuya base es un triángulo equilátero de lado L es
El volumen de un tetraedro regular de lado L es
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Un casquete esférico es la figura geométrica obtenida al cortar una esfera con un plano:
El plano de corte debe ser perpendicular al segmento que une los polos de la esfera.
Si la altura del corte (h) es igual al radio de la esfera (R), entonces el casquete es un hemisferio.
El área del casquete esférico de altura h y con base de radio a de la esfera de radio R es
O bien,
El volumen del casquete esférico de altura h y con base de radio a de la esfera de radio R es
O bien,
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