Teoría y ejercicios resueltos de matemáticas
Un hexágono es un polígono de 6 lados y 6 vértices. Es regular si todos los lados miden lo mismo y los ángulos interiores son de 120º:
La apotema de un hexágono regular de lado L es
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Un pentágono es un polígono de 5 lados y 5 vértices. Es regular si todos los lados miden lo mismo y los ángulos interiores son de 108º:
La apotema (ap) de un polígono regular es la distancia de cualquiera de sus lados al centro del polígono:
Observad que la apotema une el punto medio de cada lado con el centro del polígono.
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Básicamente, existen cuatro fórmulas para calcular el área:
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Un rectángulo es un polígono de 4 lados (cuadrilátero), de modo que los lados opuestos son paralelos e iguales y los lados contiguos forman ángulos rectos:
Un caso especial de rectángulo es el cuadrado:
Un cuadrado es un rectángulo cuyos lados tienen la misma longitud (se trata de un cuadrilátero regular).
El perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados, así que el perímetro de un rectángulo de altura a y base b es
El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura:
Ejemplo: ¿Cuál es el área de un rectángulo de perímetro 18cm si su altura mide 2cm?
La altura del rectángulo es a = 2.
La fórmula del perímetro es
Sustituimos P = 18 y a = 2 y resolvemos la ecuación:
La base es b = 7.
Calculamos el área del rectángulo:
El área del rectángulo es 14 cm2.
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Cuando tenemos un paréntesis dentro de otro, para calcular las operaciones podemos empezar por el paréntesis de dentro o por el de fuera. Por ejemplo,
Tenemos dos opciones:
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Puede darse el caso de que un paréntesis multiplique a otro.
Por ejemplo,
En estos casos, tenemos dos opciones:
Ambas opciones son correctas, pero normalmente tenemos que usar la segunda opción porque no podemos operar dentro del paréntesis. Por ejemplo,
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Lo que hace el signo negativo delante del paréntesis es cambiar los signos de los sumandos que contiene (puesto que se multiplican por -1). Por ejemplo,
Lo mismo ocurre cuando delante del paréntesis hay un número con signo negativo, el cuál multiplica a todo el paréntesis cambiando los signos:
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Cuando un número multiplica a un paréntesis, podemos proceder de dos formas:
Ambas opciones son correctas y se obtiene el mismo resultado. No obstante, en ocasiones nos vemos obligados a la segunda opción por no poder realizar las operaciones del paréntesis. Por ejemplo,
Si en lugar de una multiplicación tenemos una división, se procede del mismo modo. Por ejemplo,
O bien,
Si el número que multiplica o divide a un paréntesis en negativo, tenemos que tenerlo en cuenta al eliminar el paréntesis:
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Cuando resolvemos una ecuación, los números que están sumando pasan restando al otro lado de la igualdad; y los que están restando pasan al otro lado sumando.
Por ejemplo,
Pero ¿por qué esto es correcto?
Para que una igualdad sea cierta, lo que hay a los dos lados del signo “=” debe ser lo mismo o tener el mismo resultado.
Por ejemplo,
Si queremos sumar 1 en el lado izquierdo, tenemos que hacerlo también en el lado derecho para mantener la igualdad:
Ocurre lo mismo si queremos restar:
Y, también, si queremos multiplicar (o dividir):
Supongamos que tenemos la siguiente igualdad:
Por lo dicho anteriormente, podemos restar 1 en ambos lados y la igualdad se mantiene:
Los dos 1 del lado izquierdo se cancelan:
Resumiendo, hemos partido de la igualdad 2+1 = 3 y hemos llegado a la igualdad 2 = 3 -1. Es decir,
Por tanto, podemos decir que lo que suma en un lado puede pasar al otro lado restando.
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Para ver que el número 0 es par, debemos recordar los conceptos y propiedades de los números pares y los números impares.
Los números pares son los números enteros que son múltiplos de 2, es decir, los números que se obtienen al multiplicar otro número por 2.
Ejemplo: el 2, el 4 y el 6 son pares porque
Los números pares también se definen como los números divisibles entre 2, es decir, como los números cuya división entre 2 tienen como resultado un número entero.
Si un número a es par, existe algún número entero n tal que
Los números impares son los números enteros que no son pares.
Como 1, 3 y 5 no son divisibles entre 2 (el resultado no es un número entero), son números impares.
Si un número a es impar, entonces existe algún número entero n tal que
El número 0 es par porque es múltiplo de 2:
Además, la división 0 entre 2 es un número entero:
Además, si 0 fuese un número impar, debería existir un número entero n tal que
Pero, si resolvemos la ecuación anterior, tenemos que n ha de ser un número no entero:
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