¿Se puede dividir entre 0?

Aunque pueda pensarse que tendría sentido la división entre cero, esta operación no es posible matemáticamente porque conduce a contradicciones matemáticas, como muestran algunos ejemplos que proporcionamos a continuación.

Ejemplo 1

Partiendo de la igualdad a = 0, sumando 1 y dividiendo entre a en ambos lados, obtenemos una contradicción:

Esta contradicción surge en la cuarta igualdad, cuando hemos dividido entre a = 0.

Ejemplo 2

La división de números reales a/b es el único número real c tal que a = b·c, es decir,

Si suponemos que b puede ser 0, entonces tenemos que para cualquier número a existe un único número c tal que a = b·c = 0·c = 0, lo que significa que cualquier número real, a, es igual a 0, lo cual es falso.

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3 octubre, 202118 septiembre, 2021

Ecuación de una circunferencia

La circunferencia de radio R y centro P = (a, b) es el conjunto de puntos del plano tales que su distancia al punto P es exactamente R:

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Dichos puntos cumplen una ecuación, la ecuación de la circunferencia, que es la siguiente:

Si queremos saber si un punto forma parte de una circunferencia dada (o de un círculo), sólo tenemos que comprobar si sus coordenadas cumplen la ecuación.

Ejemplo: la circunferencia x ²+ y² = 1 tiene centro (0,0) y su radio es 1

El punto (0, 1) es de la circunferencia y, por tanto, sus coordenadas cumplen la ecuación de la circunferencia:

Sin embargo, el punto (1, 1) no cumple la ecuación porque no es un punto de la circunferencia:

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28 septiembre, 2021

Ecuaciones con fracciones

Fracciones con igual denominador

Si tenemos una ecuación con fracciones con el mismo denominador, para eliminar las fracciones de la ecuación sólo tenemos que multiplicar TODOS los sumandos de la ecuación por el denominador.

Ejemplo:

$Explicamos cómo resolver ecuaciones con fracciones: tenemos que multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. También, recordamos algunas propiedades de las fracciones. Con ejemplos y ecuaciones resueltas. Secundaria. ESO. Álgebra. Matemáticas.$

Multiplicamos todos los sumandos por el único denominador 2 y los denominadores desaparecen:

Resolver la ecuación es muy sencillo ahora:

Fracciones con distinto denominador

Si tenemos una ecuación con denominadores distintos, podemos multiplicar TODOS los sumandos de la ecuación por el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm) de los denominadores.

Recordad que para calcular el mcm de dos números tenemos que descomponerlos en un producto de potencias de números primos y escoger los factores comunes y no comunes al mayor exponente.

Ejemplo:

Podemos reescribir la ecuación extrayendo las x del numerador:

Tenemos los denominadores 2 y 3. Como son números primos, su mínimo común múltiplo es 6, así que multiplicamos todos los sumandos por 6:

Resolvemos la ecuación:

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27 septiembre, 202119 septiembre, 2021

Encontrar la parábola a partir de su gráfica

Observando la gráfica de una parábola podemos obtener la siguiente información:

Las coordenadas del vértice.
Las coordenadas de 3 puntos distintos de la gráfica.
Los puntos de corte con el eje abscisas.

Esta información es suficiente para hallar la ecuación de una parábola, la cual tiene la forma

siendo a ≠ 0.

Ahora, recordamos algunos conceptos que nos ayudarán a obtener los coeficientes a, b y c a partir de la gráfica de la parábola.

Vértice

Todas las parábolas tienen forma de $\cup$ (si a>0) o de $\cap$ (si a<0). En cualquier caso, el punto más alto o máximo (si a>0) o el punto más bajo o mínimo (si a<0) de la parábola es el punto cuya primera coordenada es

Ejemplo de una parábola con forma de $\cup$ (verde) y otra con forma de $\cap$ (azul):

Raíces

Los puntos (α, 0) de la parábola cortan al eje de abscisas. Una parábola puede tener 1, 2 o ningún punto de corte con este eje. Se pueden dar 3 casos.

Caso 1:

La parábola tiene dos raíces (reales) distintas: α y β. Entonces, se cumple la siguiente igualdad:

Caso 2:

La parábola tiene una única raíz (real): α. Entonces, se cumple que

Caso 3:

La parábola no tiene raíces. En este caso, no podemos usar las raíces para encontrar la ecuación.

Obtener la ecuación

Una forma de obtener la ecuación de la parábola es hacerlo resolviendo un sistema de ecuaciones lineales a partir de 3 puntos distintos de la parábola. Sin embargo, este método puede ser engorroso, así que es preferible utilizar las propiedades vistas anteriormente: coordenadas del vértice, puntos de corte, etc.

Ejemplo 1: encontrar la ecuación de la parábola que corta al eje de las abscisas en los puntos (1, 0) y (3, 0) y que pasa al eje de ordenadas en el punto (0, 9).

De los puntos de corte con el eje de abscisas sabemos que las raíces de la función parabólica son x = 1 y x = 3. Por tanto, la ecuación de la parábola es

Falta conocer el coeficiente $a$ , pero podemos hallarlo sabiendo que la parábola pasa por el punto (0, 9). Sólo tenemos que sustituir las coordenadas:

Por tanto, la ecuación de la parábola es

O bien, si calculamos los productos,

Gráfica:

Ejemplo 2: hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en el punto (1, 1) y que pasa por el punto (0, -3).

Sabemos que la primera coordenada del vértice es

Por tanto, como el vértice está en (1, 1), tenemos

Por otro lado, podemos sustituir las coordenadas del punto (0, -3) en la ecuación general de la parábola:

Sustituimos $c = - 3$ y $b = - 2 a$ n la ecuación:

Nos falta hallar el coeficiente $a$ , pero también podemos sustituir las coordenadas del vértice (1, 1) en la ecuación:

Luego la ecuación de la parábola es

Gráfica:

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22 septiembre, 202114 septiembre, 2021

¿Existen funciones que no cortan los ejes de coordenadas?

Dada una función y = f(x), los puntos de su gráfica son (a, b) tal que b = f(a).

Eje vertical, Y

El posible punto que corta al eje vertical es (0, f(0)). Sin embargo, puede darse el caso de que x = 0 no sea un punto del dominio de y = f(x) (porque no existe la imagen de 0). Esto ocurre, por ejemplo, con la función f(x) = 1/x:

Eje horizontal, X

Los puntos que cortan al eje vertical son (a, 0) tales que f(a) = 0. Para hallar dichos puntos, sólo hay que resolver la ecuación f(x) = 0. Si dicha ecuación no tiene solución, entonces no hay punto de corte. Esto ocurre, por ejemplo, con la función f(x) = -x² +2x -2:

Función sin puntos de corte

Una función que no corte a los ejes debe cumplir las siguientes condiciones:

No existe imagen de x = 0.
La ecuación f(x) = 0 no tiene soluciones (reales).

La función f(x) = 1/x cumple estas condiciones y es un ejemplo de función que no corta a los ejes de coordenadas. Otros ejemplos:

- f(x) = 1/x²
- f(x) = 1 + |x|
- f(x) = 1 + √x

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17 septiembre, 202114 septiembre, 2021

¿Por qué no puede haber más de un punto de corte con el eje vertical?

Dada una función y = f(x), los puntos de su gráfica son (a, b) tal que b = f(a).

Como el eje de coordenadas vertical, Y, es el conjunto de puntos (0, y), entonces los puntos de la gráfica de y = f(x) que cortan a dicho eje son (0, f(0)).

Recordad que un número sólo puede tener una imagen y, como consecuencia, sólo hay una imagen de 0, f(0), y, por ende, un único punto (0, f(0)).

Ahora bien, puede darse el caso de que no existe la imagen de 0 por no ser éste un punto de su dominio. Por ejemplo, la función f(x) = 1/x no está definida para x = 0, puesto que no se puede dividir entre 0, por lo que dicha gráfica nunca corta al eje Y:

No ocurre lo mismo con el eje horizontal puesto que los puntos de la gráfica de y = f(x) que lo cortan son (a, 0) tales que f(a) = 0. Sí puede haber diferentes puntos del dominio cuya imagen sea 0 y podemos hallarlos resolviendo la ecuación f(x) = 0.

Por ejemplo, la gráfica de la función f(x) = x³-3x corta al eje vertical en tres puntos distintos:

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13 septiembre, 202113 septiembre, 2021

Puntos de corte con los ejes

Recordad que el eje vertical (Y) es el eje de las ordenadas; y el horizontal (X), el eje abscisas.

Recordad que los puntos de la gráfica de f son (a, b), siendo b = f(a).

La gráfica de una función puede cortar en uno o varios puntos a los ejes de coordenadas o no cortarlos. Más exactamente, SÓLO puede cortar al eje vertical en un punto y puede cortar al eje vertical en varios puntos.

A continuación, vamos a ver cómo calcular los puntos de corte con los ejes.

1. Punto de corte con el eje vertical Y

El eje vertical está situado cortando el eje horizontal X en el punto x = 0.

Esto significa que los puntos que están sobre el eje Y tienen un 0 en la primera coordenada.

Por tanto, el punto de corte de la gráfica de f con dicho eje, si existe, es el punto

La primera coordenada del punto es 0 y la segunda coordenada es la imagen de x = 0.

Ejemplo: calculamos el punto de corte de la gráfica de f(x) = x² + 2 con el eje Y:

Por tanto, el punto de corte es (0, 2).

Gráfica de la función:

No hay punto de corte con el eje Y si no existe f(0). Esto ocurre, por ejemplo, con la función f(x) = 1/x, ya que no se puede dividir entre 0, cuya gráfica es

2. Puntos de corte con el eje horizontal X

Los puntos situados sobre el eje horizontal X son los que tienen un 0 en la segunda coordenada: son los puntos (x, 0).

Es decir, la gráfica de f corta al eje X si existe algún x tal que f(x) = 0. Para calcular dichas x sólo tenemos que resolver la ecuación f(x) = 0.

Ejemplo: calculamos los puntos de corte de la gráfica de la función f(x) = x² – 9 con el eje X:

Tenemos dos soluciones y, por tanto, dos puntos de corte:

Gráfica de la función:

Otros ejemplos:

La función f(x) = 3x – 6 corta a los dos ejes en un punto:

La función f(x) = x³ -4x corta al eje horizontal en 3 puntos:

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14 febrero, 202114 septiembre, 2021

Pendiente de una recta

Las rectas son las funciones que tienen la siguiente forma:

donde m y n son números constantes:

m es la pendiente de la recta
n es la ordenada en el origen

La pendiente de una recta tiene cierta importancia puesto que nos informa de algunas propiedades de la recta. Por ejemplo,

Si es positiva, la recta es creciente. Si es negativa, es decreciente.
Si la pendiente es m = 0, entonces se trata de una recta constante, es decir, una recta horizontal paralela al eje de las abscisas.
Cuanto mayor es |m|, mayor es el crecimiento/decrecimiento de la recta, es decir, cuanto mayor es |m|, más inclinada es la recta.
Dos rectas con la misma pendiente son paralelas.

Ejemplo 1: gráficas de las rectas y = 2x + 1 (azul) e y = x + 1 (rojo)

Como las dos pendientes (m = 2 y m = 1) son positivas, las rectas son crecientes. Además, la que tiene mayor pendiente (azul) crece más rápido (está más inclinada).

Ejemplo 2: gráficas de las rectas y = 2x + 1 (azul) e y = 2x – 1 (rojo)

Como ambas rectas tienen la misma pendiente (m = 2), son paralelas.

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9 febrero, 202114 septiembre, 2021

Vértice de una parábola

Recordad que la función parábola tiene la forma

siendo a ≠ 0.

Si a>0, la parábola tiene forma de U.
Si a<0, la parábola tiene forma de $\cap$ .

Ejemplo: gráficas de las parábolas y = x2-1 (azul) e y = 2 -2x² (naranja)

En rojo se representan los puntos donde las dos parábolas se cortan.

Vértice de la parábola

El vértice de la parábola es el punto más bajo de la misma (si la parábola tiene forma de U) o el punto más alto (si la parábola tiene forma de $\cap$ ).

La primera coordenada del vértice de la parábola f(x) = ax² + bx + c es

Y la segunda coordenada es su imagen:

Ejemplo: calculamos el vértice de la parábola f(x) = -2x² + 3:

Identificamos los coeficientes:

Como a es negativo, la parábola tiene forma de $\cap$ . El vértice es un máximo.

La primera coordenada del vértice es

Calculamos la segunda coordenada:

Por tanto, el vértice es el punto

Gráfica:

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25 enero, 202116 septiembre, 2021

Número de soluciones de un sistema de ecuaciones NO lineales

Recordad que el Teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema de ecuaciones lineales puede:

No tener solución (sistema incompatible).
Tener una única solución (sistema compatible determinado).
Tener infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado).

No ocurre lo mismo con los sistemas de ecuaciones NO lineales, puesto que también puede darse el caso de que tengan un número finito de soluciones distintas, como mostramos en los dos siguientes ejemplos.

Ejemplo 1: sistema de 2 ecuaciones (una no lineal y otra lineal) con dos incógnitas:

Este sistema tiene dos soluciones distintas:

Ejemplo 2: sistema de 2 ecuaciones no lineales con dos incógnitas:

Este sistema tiene 3 soluciones distintas:

Lógicamente, el número de soluciones está relacionado con el tipo de ecuaciones implicadas en el sistema, pero sería difícil establecer una regla genérica. Cada sistema de ecuaciones no lineales es un caso especial.

La resolución de los sistemas anteriores podéis encontrarla en: sistemas de ecuaciones no lineales.

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