¿Por qué no puede haber más de un punto de corte con el eje vertical?

Dada una función y = f(x), los puntos de su gráfica son (a, b) tal que b = f(a).

Como el eje de coordenadas vertical, Y, es el conjunto de puntos (0, y), entonces los puntos de la gráfica de y = f(x) que cortan a dicho eje son (0, f(0)).

Recordad que un número sólo puede tener una imagen y, como consecuencia, sólo hay una imagen de 0, f(0), y, por ende, un único punto (0, f(0)).

Ahora bien, puede darse el caso de que no existe la imagen de 0 por no ser éste un punto de su dominio. Por ejemplo, la función f(x) = 1/x no está definida para x = 0, puesto que no se puede dividir entre 0, por lo que dicha gráfica nunca corta al eje Y:

No ocurre lo mismo con el eje horizontal puesto que los puntos de la gráfica de y = f(x) que lo cortan son (a, 0) tales que f(a) = 0. Sí puede haber diferentes puntos del dominio cuya imagen sea 0 y podemos hallarlos resolviendo la ecuación f(x) = 0.

Por ejemplo, la gráfica de la función f(x) = x³-3x corta al eje vertical en tres puntos distintos:

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13 septiembre, 202113 septiembre, 2021

Puntos de corte con los ejes

Recordad que el eje vertical (Y) es el eje de las ordenadas; y el horizontal (X), el eje abscisas.

Recordad que los puntos de la gráfica de f son (a, b), siendo b = f(a).

La gráfica de una función puede cortar en uno o varios puntos a los ejes de coordenadas o no cortarlos. Más exactamente, SÓLO puede cortar al eje vertical en un punto y puede cortar al eje vertical en varios puntos.

A continuación, vamos a ver cómo calcular los puntos de corte con los ejes.

1. Punto de corte con el eje vertical Y

El eje vertical está situado cortando el eje horizontal X en el punto x = 0.

Esto significa que los puntos que están sobre el eje Y tienen un 0 en la primera coordenada.

Por tanto, el punto de corte de la gráfica de f con dicho eje, si existe, es el punto

La primera coordenada del punto es 0 y la segunda coordenada es la imagen de x = 0.

Ejemplo: calculamos el punto de corte de la gráfica de f(x) = x² + 2 con el eje Y:

Por tanto, el punto de corte es (0, 2).

Gráfica de la función:

No hay punto de corte con el eje Y si no existe f(0). Esto ocurre, por ejemplo, con la función f(x) = 1/x, ya que no se puede dividir entre 0, cuya gráfica es

2. Puntos de corte con el eje horizontal X

Los puntos situados sobre el eje horizontal X son los que tienen un 0 en la segunda coordenada: son los puntos (x, 0).

Es decir, la gráfica de f corta al eje X si existe algún x tal que f(x) = 0. Para calcular dichas x sólo tenemos que resolver la ecuación f(x) = 0.

Ejemplo: calculamos los puntos de corte de la gráfica de la función f(x) = x² – 9 con el eje X:

Tenemos dos soluciones y, por tanto, dos puntos de corte:

Gráfica de la función:

Otros ejemplos:

La función f(x) = 3x – 6 corta a los dos ejes en un punto:

La función f(x) = x³ -4x corta al eje horizontal en 3 puntos:

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14 febrero, 202114 septiembre, 2021

Pendiente de una recta

Las rectas son las funciones que tienen la siguiente forma:

donde m y n son números constantes:

m es la pendiente de la recta
n es la ordenada en el origen

La pendiente de una recta tiene cierta importancia puesto que nos informa de algunas propiedades de la recta. Por ejemplo,

Si es positiva, la recta es creciente. Si es negativa, es decreciente.
Si la pendiente es m = 0, entonces se trata de una recta constante, es decir, una recta horizontal paralela al eje de las abscisas.
Cuanto mayor es |m|, mayor es el crecimiento/decrecimiento de la recta, es decir, cuanto mayor es |m|, más inclinada es la recta.
Dos rectas con la misma pendiente son paralelas.

Ejemplo 1: gráficas de las rectas y = 2x + 1 (azul) e y = x + 1 (rojo)

Como las dos pendientes (m = 2 y m = 1) son positivas, las rectas son crecientes. Además, la que tiene mayor pendiente (azul) crece más rápido (está más inclinada).

Ejemplo 2: gráficas de las rectas y = 2x + 1 (azul) e y = 2x – 1 (rojo)

Como ambas rectas tienen la misma pendiente (m = 2), son paralelas.

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9 febrero, 202114 septiembre, 2021

Vértice de una parábola

Recordad que la función parábola tiene la forma

siendo a ≠ 0.

Si a>0, la parábola tiene forma de U.
Si a<0, la parábola tiene forma de $\cap$ .

Ejemplo: gráficas de las parábolas y = x2-1 (azul) e y = 2 -2x² (naranja)

En rojo se representan los puntos donde las dos parábolas se cortan.

Vértice de la parábola

El vértice de la parábola es el punto más bajo de la misma (si la parábola tiene forma de U) o el punto más alto (si la parábola tiene forma de $\cap$ ).

La primera coordenada del vértice de la parábola f(x) = ax² + bx + c es

Y la segunda coordenada es su imagen:

Ejemplo: calculamos el vértice de la parábola f(x) = -2x² + 3:

Identificamos los coeficientes:

Como a es negativo, la parábola tiene forma de $\cap$ . El vértice es un máximo.

La primera coordenada del vértice es

Calculamos la segunda coordenada:

Por tanto, el vértice es el punto

Gráfica:

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25 enero, 202116 septiembre, 2021

Número de soluciones de un sistema de ecuaciones NO lineales

Recordad que el Teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema de ecuaciones lineales puede:

No tener solución (sistema incompatible).
Tener una única solución (sistema compatible determinado).
Tener infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado).

No ocurre lo mismo con los sistemas de ecuaciones NO lineales, puesto que también puede darse el caso de que tengan un número finito de soluciones distintas, como mostramos en los dos siguientes ejemplos.

Ejemplo 1: sistema de 2 ecuaciones (una no lineal y otra lineal) con dos incógnitas:

Este sistema tiene dos soluciones distintas:

Ejemplo 2: sistema de 2 ecuaciones no lineales con dos incógnitas:

Este sistema tiene 3 soluciones distintas:

Lógicamente, el número de soluciones está relacionado con el tipo de ecuaciones implicadas en el sistema, pero sería difícil establecer una regla genérica. Cada sistema de ecuaciones no lineales es un caso especial.

La resolución de los sistemas anteriores podéis encontrarla en: sistemas de ecuaciones no lineales.

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20 enero, 202116 septiembre, 2021

Sistema de ecuaciones NO lineales

Las ecuaciones de un sistema de ecuaciones lineales tienen las incógnitas separadas en monomios distintos y sin exponentes.

Ejemplo 1: sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas (x e y):

Ejemplo 2: sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas (x, y y z):

Existen métodos básicos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales:

Y algunos métodos más avanzados del álgebra matricial:

Sistema de ecuaciones NO lineales

Cuando las ecuaciones no son lineales, la resolución del sistema es más compleja. Generalmente, no existe un método concreto para resolverlo, debido a la diversidad de las ecuaciones implicadas.

Ejemplo 3: sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

La primera ecuación no es lineal porque las incógnitas aparecen multiplicadas entre sí. La segunda ecuación sí es lineal.

En este caso en concreto, podemos resolver el sistema por sustitución.

Despejamos la x en la segunda ecuación:

Sustituimos en la primera ecuación:

Tenemos una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son y = 0 e y = 3. Sustituimos en la ecuación x = 2y/3 para obtener x = 0 y x = 2. Por tanto, este sistema de ecuaciones tiene dos soluciones distintas:

Gráfica: si representamos las dos ecuaciones, las dos soluciones son los puntos de intersección:

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17 enero, 202122 septiembre, 2021

Puntos equidistantes

Un punto P es equidistante de un conjunto de puntos x₁, x₂… x_n si la distancia de P a cada uno de estos puntos es la misma:

Ejemplo 1: El punto P = (0,1) es equidistante a los puntos x₁= (1, 1) y x₂ = (2, 0):

La distancia de P a los puntos estos puntos es 1.

Ejemplo 2: los puntos de la circunferencia de radio r y centro P es un conjunto de puntos equidistantes de P:

La distancia de todos los puntos de la circunferencia a su centro es igual al radio, r.

Ejemplo 3: en un cuadrado, los vértices equidistan del centro:

Observad que los vértices no son equidistantes entre sí.

Ejemplo 4: en un triángulo equilátero, los vértices son equidistantes entre sí:

También, los vértices equidistan del ortocentro:

Y además, los puntos medios de cada lado equidistan del ortocentro:

Nota: el ortocentro es el punto donde intersectan las tres alturas del triángulo.

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15 enero, 202122 septiembre, 2021

Distancia entre puntos del plano

La distancia entre dos puntos (a, b) y (x, y) del plano se define como

Como la distancia es una raíz cuadrada, es siempre mayor o igual que 0.

Ejemplo 1: la distancia entre los puntos (2, 2) y (2, 4) es 2:

Representación:

Ejemplo 2: la distancia entre los puntos (-2, 6) y (-5, 2) es 5:

Representación:

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20 diciembre, 202016 septiembre, 2021

Operaciones con paréntesis

Los paréntesis sirven para cambiar el orden de las operaciones agrupando partes de la expresión algebraica.

Un paréntesis también sirve para agrupar el conjunto de operaciones que contiene en su interior.

Ejemplo 1: si hay un número multiplicando a un paréntesis, dicho número debe multiplicar a todos los sumandos de su interior:

2·(3-x) = 2·3 – 2x = 6-2x

Ejemplo 2: otra opción es realizar primero las operaciones de dentro del paréntesis:

Si quitamos el paréntesis, cambia el orden de las operaciones y, por tanto, su resultado:

3 + 4·2 -1 = 3 + 8 – 1 = 10 ≠ 7

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Más ejemplos en:

15 diciembre, 202014 septiembre, 2021

¿Por qué hay fracciones distintas que son iguales?

Hay fracciones que tienen numerador y denominador distintos y, sin embargo, son iguales. Esto se debe a que representan al mismo número o fracción. Es fácil de comprender con una representación:

$Definiciones y conceptos de fracciones equivalentes y fracción irreductible. Veremos cómo saber si las fracciones son equivalentes y cómo calcular la fracción irreductible de una fracción. Con ejemplos y problemas explicados paso a paso. Secundaria. ESO$

Cuando hablamos, también usamos fracciones equivalentes. Por ejemplo, las siguientes expresiones significan lo mismo:

La mitad.
Uno de cada dos.
El 50%.

Una forma de comprobar que dos fracciones son iguales o equivalentes es calcular la división que representan (numerador divido entre denominador). El cociente de la división tiene que ser el mismo.

Por ejemplo, las fracciones 14/16 y 21/24 son equivalentes:

Se pueden obtener fracciones equivalentes multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número. Por ejemplo,

Dada una fracción, su fracción irreducible equivalente es la fracción equivalente cuyos numerador y denominador son lo más pequeños posible.

Por ejemplo, la fracción irreducible de 180/270 es la fracción 2/3.

Una forma de obtener la fracción irreducible de una fracción dada es dividir el numerador y denominador entre su máximo común divisor (MCD).

Por ejemplo, el MCD de 180 y 270 es 90, por tanto, la fracción irreducible es

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