¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo?

Sí, existe la raíz cuadrada de un número negativo.

La unidad imaginaria se denota por i y se define como la raíz cuadrada de -1:

¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo? Recordamos los conceptos de cuadrado y raíz cuadrada de un número y la propiedad del producto de raíces para poder definir los números imaginarios como raíces de números negativos. También, resolvemos algunas ecuaciones de segundo grado. Secundaria. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

El cuadrado de la unidad imaginaria es -1:

¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo? Recordamos los conceptos de cuadrado y raíz cuadrada de un número y la propiedad del producto de raíces para poder definir los números imaginarios como raíces de números negativos. También, resolvemos algunas ecuaciones de segundo grado. Secundaria. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

Con la invención del número imaginario ya podemos trabajar con raíces cuadradas de números negativos (nos ayudaremos de la propiedad del producto de raíces).

Veamos algunos ejemplos:

  • Raíces cuadradas de -4:

¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo? Recordamos los conceptos de cuadrado y raíz cuadrada de un número y la propiedad del producto de raíces para poder definir los números imaginarios como raíces de números negativos. También, resolvemos algunas ecuaciones de segundo grado. Secundaria. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

  • Raíces cuadradas de -25:

¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo? Recordamos los conceptos de cuadrado y raíz cuadrada de un número y la propiedad del producto de raíces para poder definir los números imaginarios como raíces de números negativos. También, resolvemos algunas ecuaciones de segundo grado. Secundaria. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

Observad que, entonces, sí hay números cuyo cuadrado es negativo: los números imaginarios.

Por ejemplo,

¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo? Recordamos los conceptos de cuadrado y raíz cuadrada de un número y la propiedad del producto de raíces para poder definir los números imaginarios como raíces de números negativos. También, resolvemos algunas ecuaciones de segundo grado. Secundaria. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

Más ejemplos y temas relacionados:

Sólidos platónicos

Los sólidos platónicos son las siguientes figuras:

Propiedades básicas y fichas descriptivas del tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Con el número de vértices, caras y aristas y las fórmulas del área y del volumen. Poliedros. Secundaria.

  • El tetraedro tiene 4 caras.
  • El hexaedro tiene 6 caras.
  • El octaedro tiene 8 caras.
  • El dodecaedro tiene 12 caras.
  • El icosaedro tiene 20 caras.

Los sólidos platónicos tienen propiedades comunes, por ejemplo:

  • Todas las caras son polígonos regulares iguales.
  • Todos los ángulos (diedros) son iguales.
  • Todas las aristas tienen la misma longitud.
  • En todos los vértices concurren el mismo número de caras y de aristas.

Y, seguramente, la propiedad más importante es:

  • Sólo existen cinco poliedros regulares y son los expuestos anteriormente.

Más información y temas de geometría:

Teorema del seno

El teorema del seno es un conocido e importante resultado de trigonometría que dice así:

Sea un triángulo cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ (son los ángulos opuestos a los lados, respectivamente). Entonces, se cumple la relación

el teorema del seno (con demostración) y problemas resueltos de su aplicación: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Fórmula del área de un triángulo aplicando el teorema del seno.

Veamos dos ejemplos de aplicación:

Ejemplo 1: en el siguiente triángulo de lados a = 8cm y b = 7cm. Calcular cuánto mide el ángulo β sabiendo que el ángulo γ mide 45º.

el teorema del seno (con demostración) y problemas resueltos de su aplicación: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Fórmula del área de un triángulo aplicando el teorema del seno.

Como conocemos los lados a y b y el ángulo α, aplicamos el teorema del seno:

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Por tanto,

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Despejamos el seno de β:

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Finalmente, despejamos β utilizando la inversa del seno (arcoseno):

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Luego el ángulo es

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Ejemplo 2: se tiene un triángulo con ángulos α = 67° y β = 36° y un lado a = 6cm. ¿Cuánto mide el lado c?

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Para calcular el lado c necesitamos conocer el ángulo γ.

Recordemos que en todo triángulo la suma de sus ángulos internos es 180°, es decir, tenemos la ecuación:

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Despejamos el ángulo γ:

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Sustituimos los valores:

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Luego el ángulo es γ = 77º.

Ahora podemos aplicar el teorema del seno:

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Sustituimos los datos:

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Por tanto,

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Luego el lado c mide 6.35 cm.

Más ejemplos y temas relacionados:

Teorema del coseno

Dado un triángulo cualquiera con lados a, b y c con ángulos interiores α, β y γ (son los ángulos opuestos a los lados, respectivamente). Entonces, se cumplen las relaciones siguientes:

El teorema del coseno (con demostración). Problemas resueltos de aplicación del teorema del coseno: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Problemas resueltos y explicados paso a paso. Trigonometría. Bachiller.

Ejemplo: se tiene un triángulo cuyos lados b y c miden 45 y 66 cm respectivamente y cuyo ángulo α mide 47°. Hallar cuánto mide el lado a del triángulo.

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Como queremos calcular el lado a del triángulo, aplicamos la siguiente fórmula del teorema del coseno:

El teorema del coseno (con demostración). Problemas resueltos de aplicación del teorema del coseno: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Problemas resueltos y explicados paso a paso. Trigonometría. Bachiller.

Tenemos los datos necesarios para calcular a, es decir, tenemos bc y al ángulo α. Por tanto, sustituyendo los datos y haciendo la raíz cuadrada obtenemos:

El teorema del coseno (con demostración). Problemas resueltos de aplicación del teorema del coseno: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Problemas resueltos y explicados paso a paso. Trigonometría. Bachiller.

Luego el lado a mide aproximadamente 48.27 cm.

Nota: al hacer la raíz cuadrada hay que escribir el signo ±, pero como a representa una longitud, debe ser positiva.

Nota 2: utilizamos el signo  para indicar que el valor de a es una aproximación.

Más información:

Fórmula del movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Un móvil realiza un movimiento rectilíneo uniforme cuando:

  • Se mueve en línea recta (rectilíneo)
  • Su velocidad es constante (uniforme)

En este movimiento, la fórmula más sencilla es la siguiente:

Resolución de problemas de movimiento rectilíneo uniforme (MRU) utilizando la fórmula d = v·t (distancia recorrida es igual a velocidad por tiempo). Problemas de móviles que se mueven en línea recta y a velocidad constante. Secundaria. ESO. Física básica.

siendo

  • d la distancia recorrida,
  • v la velocidad del móvil
  • t el tiempo que dura el movimiento

Para calcular la velocidad o el tiempo, despejamos en la ecuación anterior:

Resolución de problemas de movimiento rectilíneo uniforme (MRU) utilizando la fórmula d = v·t (distancia recorrida es igual a velocidad por tiempo). Problemas de móviles que se mueven en línea recta y a velocidad constante. Secundaria. ESO. Física básica.

Esta fórmula nos indica que

Esto significa:

  • Cuanto mayor es la velocidad o el tiempo, mayor es la distancia recorrida.
  • Cuanto mayor es la velocidad, menos tiempo se requiere para recorrer una distancia.

Ejemplo 1: 

Si un móvil que se mueve a velocidad constante recorre 1km en 10 minutos, entonces en 20 minutos recorre 2km.

 

Generalmente, expresamos

  • la velocidad en km/h (kilómetros por hora)
  • el tiempo en h (horas)
  • la distancia recorrida en km (kilómetros)

Para poder aplicar la fórmula, debemos asegurarnos de que las unidades de medida sean acordes. No podemos escribir la velocidad en km/h y el tiempo en min (minutos) o la distancia recorrida en m (metros).

Ejemplo 2:  ¿A qué velocidad debe circular un auto de carreras para recorrer 50km en un cuarto de hora?

Como la distancia es en kilómetros, vamos a escribir el tiempo en unidades de hora para tener la velocidad en km/h.

El tiempo que dura el movimiento es

Resolución de problemas de movimiento rectilíneo uniforme (MRU) utilizando la fórmula d = v·t (distancia recorrida es igual a velocidad por tiempo). Problemas de móviles que se mueven en línea recta y a velocidad constante. Secundaria. ESO. Física básica.

La distancia recorrida por el móvil es

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Por tanto, su velocidad debe ser

Resolución de problemas de movimiento rectilíneo uniforme (MRU) utilizando la fórmula d = v·t (distancia recorrida es igual a velocidad por tiempo). Problemas de móviles que se mueven en línea recta y a velocidad constante. Secundaria. ESO. Física básica.

 

Ejemplo 3: Una bicicleta circula en línea recta a una velocidad de 15km/h durante 45 minutos. ¿Qué distancia recorre?

La velocidad de la bicicleta es

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El tiempo que dura el movimiento es

Resolución de problemas de movimiento rectilíneo uniforme (MRU) utilizando la fórmula d = v·t (distancia recorrida es igual a velocidad por tiempo). Problemas de móviles que se mueven en línea recta y a velocidad constante. Secundaria. ESO. Física básica.

Como las unidades de velocidad son kilómetros por hora y el tiempo está en minutos, tenemos que pasar el tiempo t de minutos a horas (dividiendo entre 60):

Resolución de problemas de movimiento rectilíneo uniforme (MRU) utilizando la fórmula d = v·t (distancia recorrida es igual a velocidad por tiempo). Problemas de móviles que se mueven en línea recta y a velocidad constante. Secundaria. ESO. Física básica.

Calculamos la distancia que recorre la bicicleta:

Resolución de problemas de movimiento rectilíneo uniforme (MRU) utilizando la fórmula d = v·t (distancia recorrida es igual a velocidad por tiempo). Problemas de móviles que se mueven en línea recta y a velocidad constante. Secundaria. ESO. Física básica.

Más ejemplos y temas relacionados:

¿Qué es el valor absoluto?

El valor absoluto de un número a se escribe como |a| y es el número sin signo.

Por ejemplo,

  • |-2| = 2
  • |3| = 3
  • |-5| = 5
  • |-0.5| = 0.5
  • |0| = 0

Se puede definir el valor absoluto como una función definida a trozos:

Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.

Es decir, el valor absoluto de x es igual a x si x es mayor o igual que 0, y es -x si x es negativo.

La gráfica de la función valor absoluto es

Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.

El recorrido de esta función es el conjunto de los reales positivos (incluyendo al 0).

Veamos algunas propiedades sencillas del valor absoluto:

  • El valor absoluto de un número es siempre no negativo:

Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.

  • El valor absoluto de un número x es 0 si, y sólo si, x = 0:

Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.

  • El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de sus factores:

Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.

  • Lo mismo para el cociente:

Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.

  • Valor absoluto del opuesto:

Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.

  • Igualdad entre valores absolutos:

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Más ejemplos y temas relacionados:

¿Qué es una inecuación?

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas con una o varias incógnitas.

Los signos de desigualdad posibles son cuatro: <, ≤, > y  ≥.  Significado:

  • a < b significa que a es menor que b. Por ejemplo, 2 < 3.
  • a ≤ b significa que a es menor o igual que b. Por ejemplo, 2 ≤ 3.
  • a > b significa que a es mayor que b. Por ejemplo, 3 > 2.
  • a b significa que a es mayor o igual que b. Por ejemplo, 2 ≥ 2.

En este post veremos sólo inecuaciones con una sólo incógnita: x.

Ejemplo 1 : 

La solución o soluciones de esta inecuación son los números que al restarle 2 son mayor que 1. Esto ocurre con cualquier número mayor o igual que 3. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los número x tales que x > 3.

Otra forma de expresar la solución es en forma de intervalo:

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

Representación en la recta real:

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

Al igual que en las ecuaciones, los sumandos de las inecuaciones pueden pasar al otro lado cambiando su signo.

Ejemplo 2 : 

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

Como la x está restando, puede pasar al otro lado sumando:

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

El 2 pasa al otro lado restando:

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

La solución de la inecuación es x ≤ 1, o bien,

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

Representación:

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

 

Los coeficientes de la también pueden pasar al otro lado como en las ecuaciones, pero tenemos que cambiar el signo de desigualdad si el número es negativo.

 

Ejemplo 3: 

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

Pasamos el 2 al otro lado:

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

Pasamos el 3x de la derecha al otro lado:

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

El coeficiente de la x es -2. Puede pasar al otro lado dividiendo, pero tenemos que cambiar el signo de desigualdad porque el -2 es negativo (de menor o igual a mayor o igual):

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

La solución de la inecuación es x ≥ -7/2.

Representación:

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

Más ejemplos y temas relacionados:

Gráfica de una función

La gráfica de una función matemática es su representación gráfica, la cual nos permite observar el comportamiento o propiedades de la misma. También, podemos obtener la imagen de un número a partir de la gráfica.

Recordamos que si y = f(x) es una función, entonces la imagen de un número a es b = f(a).  Por ejemplo, consideremos la función f(x) = 2x + 1. Para calcular la imagen de un número, tenemos que sustituir x por dicho número:

Explicamos qué es la gráfica de una función y cómo dibujarla con la ayuda de algunos de sus puntos. También, mostramos algunos ejemplos de gráficas (función lineal, parabólica, cúbica, etc.) y explicamos cómo calcular los puntos de corte con los ejes. Se incluyen ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Secundaria. ESO.

Es decir,

  • La imagen de 0 es 1.
  • La imagen de 1 es 3.
  • La imagen de 2 es 5.

Si a es un número y b es su imagen, es decir, b = f(a), entonces el punto (a, b) es un punto de la gráfica de f. Como hemos calculado varias imágenes, tenemos varios puntos:

  • f(0) = 1 → tenemos el punto (0, 1).
  • f(1) = 3 → tenemos el punto (1, 3).
  • f(2) = 5 → tenemos el punto (2, 5).

Si representamos estos puntos en el plano y los unimos, tenemos la gráfica de la función:

Explicamos qué es la gráfica de una función y cómo dibujarla con la ayuda de algunos de sus puntos. También, mostramos algunos ejemplos de gráficas (función lineal, parabólica, cúbica, etc.) y explicamos cómo calcular los puntos de corte con los ejes. Se incluyen ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Secundaria. ESO.

La gráfica de esta función es una recta.

Observando la gráfica, podemos deducir, por ejemplo, que la imagen de 3 es 7, es decir, f(3) = 7, ya que el punto (3, 7) está en la gráfica de f.

Como decíamos anteriormente, la gráfica permite observar el comportamiento de la función. Por ejemplo:

  • La gráfica de esta función es una recta, pero las gráficas de las funciones también pueden ser curvas, por ejemplo.
  • La recta es creciente (vista de izquierda a derecha), lo que significa que si a < b, entonces f(a) < f(b).
  • Los puntos de corte con los ejes. Por ejemplo, la gráfica corta al eje Y en el punto (0, 1).
  • Es una función continua, lo que significa que puede dibujarse de un solo trazo, lo cual no siempre es así.

Otros ejemplos de gráficas

La gráfica de la función f(x) = x2 es una parábola (una curva):

Explicamos qué es la gráfica de una función y cómo dibujarla con la ayuda de algunos de sus puntos. También, mostramos algunos ejemplos de gráficas (función lineal, parabólica, cúbica, etc.) y explicamos cómo calcular los puntos de corte con los ejes. Se incluyen ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Secundaria. ESO.

La gráfica de la función f(x) = 1/x NO es continua (tiene un salto):

Explicamos qué es la gráfica de una función y cómo dibujarla con la ayuda de algunos de sus puntos. También, mostramos algunos ejemplos de gráficas (función lineal, parabólica, cúbica, etc.) y explicamos cómo calcular los puntos de corte con los ejes. Se incluyen ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Secundaria. ESO.
La gráfica de la función f(x) = x3 -3x es creciente, decreciente y creciente (de izquierda a derecha):

Explicamos qué es la gráfica de una función y cómo dibujarla con la ayuda de algunos de sus puntos. También, mostramos algunos ejemplos de gráficas (función lineal, parabólica, cúbica, etc.) y explicamos cómo calcular los puntos de corte con los ejes. Se incluyen ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Secundaria. ESO.
La gráfica de la función f(x) = cos(x) es periódica (se repite):

Explicamos qué es la gráfica de una función y cómo dibujarla con la ayuda de algunos de sus puntos. También, mostramos algunos ejemplos de gráficas (función lineal, parabólica, cúbica, etc.) y explicamos cómo calcular los puntos de corte con los ejes. Se incluyen ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Secundaria. ESO.Más información en

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Teorema del sándwich o del emparedado

El teorema del sándwich establece que si una función f(x) se encuentra entre dos funciones g(x) y h(x), es decir,

Y los límites de g(x) y de h(x) existen y son iguales, entonces el límite de f(x) también existe y coincide con el de g(x) y el de h(x).

 

Veamos un par de ejemplos de la importancia del teorema del sándwich en la práctica demostrando límites.

Ejemplo 1

el límite de sin(x)/x es 0

En principio, este límite no es sencillo de calcular, puesto que la función seno es una función periódica que toma valores en el intervalo [-1, 1], por lo que el límite cuando x tiende a infinito es indeterminado.

Así, pues, vamos a acotar la función sin(x)/x entre dos funciones con límite.

Como el seno toma valores entre -1 y 1, podemos escribir

Dividimos entre x:

Ya tenemos la función acotada entre dos funciones (siempre que x sea mayor que 0) y estas funciones tienen límite cuando x tiende a infinito y es 0.

Por tanto, la función sin(x)/x también tiene límite y es 0:

Ejemplo 2 

El coseno es una función periódica con valores en el intervalo [-1, 1], aunque existe su límite cuando x tiende a 0 y es cos(0) = 1. Sin embargo, en la función del límite el argumento del coseno es 1/x, el cual tiende a infinito cuando x tiende a 0. Además, el coseno del límite está además multiplicado por x.

A pesar de todo esto, el límite es sencillo de calcular mediante el teorema del sándwich. Acotamos el coseno:

Supongamos que x>0, entonces

Por el teorema del emparedado,

Enunciamos y demostramos el teorema del emparedado para funciones, series y sucesiones. Límite de una función (serie o sucesión) comprendida entre otras dos. Ejemplos de aplicación. Teorema del emparedado, del sándwich, de encaje o del bocadillo. Bachillerato y Universidad. Matemáticas. Análisis de una variable.

Ahora, hacemos lo mismo suponiendo que x<0:

Enunciamos y demostramos el teorema del emparedado para funciones, series y sucesiones. Límite de una función (serie o sucesión) comprendida entre otras dos. Ejemplos de aplicación. Teorema del emparedado, del sándwich, de encaje o del bocadillo. Bachillerato y Universidad. Matemáticas. Análisis de una variable.

Por el teorema del emparedado,

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Como los límites laterales coinciden,

Enunciamos y demostramos el teorema del emparedado para funciones, series y sucesiones. Límite de una función (serie o sucesión) comprendida entre otras dos. Ejemplos de aplicación. Teorema del emparedado, del sándwich, de encaje o del bocadillo. Bachillerato y Universidad. Matemáticas. Análisis de una variable.

Gráfica de la función:

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Más ejemplos en Teorema del emparedado o del sándwich.

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Límites de restas de raíces

Anteriormente, vimos cómo calcular el límite de una raíz y el límite de una fracción de raíces. En este post explicamos cómo calcular límites de restas de raíces.

Para calcular el límite de una resta de raíces cuadradas usaremos la fórmula

Explicamos cómo calcular límites de raíces, especialmente, restas de raíces y cocientes de raíces de distinto orden. Con ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Cálculo diferencial. Matemáticas. Bachillerato.

Ejemplo 1

Explicamos cómo calcular límites de raíces, especialmente, restas de raíces y cocientes de raíces de distinto orden. Con ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Cálculo diferencial. Matemáticas. Bachillerato.

En un principio, tenemos la indeterminación infinito menos infinito. Sin embargo, podemos aplicar la fórmula anterior para evitarla.

Llamamos

Explicamos cómo calcular límites de raíces, especialmente, restas de raíces y cocientes de raíces de distinto orden. Con ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Cálculo diferencial. Matemáticas. Bachillerato.

Aplicando la fórmula,

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Las raíces del numerador desaparecen por estar elevadas al cuadrado:

Explicamos cómo calcular límites de raíces, especialmente, restas de raíces y cocientes de raíces de distinto orden. Con ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Cálculo diferencial. Matemáticas. Bachillerato.

Como los monomios de mayor grado son los importantes para calcular el límite de una raíz, cuando x es grande, la función del límite es similar a

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Por tanto,

Explicamos cómo calcular límites de raíces, especialmente, restas de raíces y cocientes de raíces de distinto orden. Con ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Cálculo diferencial. Matemáticas. Bachillerato.

 

Para calcular el límite de una resta de raíces cúbicas usaremos la fórmula

Explicamos cómo calcular límites de raíces, especialmente, restas de raíces y cocientes de raíces de distinto orden. Con ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Cálculo diferencial. Matemáticas. Bachillerato.

 

Más información y ejemplos: