Teoría y ejercicios resueltos de matemáticas
Un hexágono es un polígono de 6 lados y 6 vértices. Es regular si todos los lados miden lo mismo y los ángulos interiores son de 120º:
La apotema de un hexágono regular de lado L es
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Un pentágono es un polígono de 5 lados y 5 vértices. Es regular si todos los lados miden lo mismo y los ángulos interiores son de 108º:
La apotema (ap) de un polígono regular es la distancia de cualquiera de sus lados al centro del polígono:
Observad que la apotema une el punto medio de cada lado con el centro del polígono.
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Básicamente, existen cuatro fórmulas para calcular el área:
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Un rectángulo es un polígono de 4 lados (cuadrilátero), de modo que los lados opuestos son paralelos e iguales y los lados contiguos forman ángulos rectos:
Un caso especial de rectángulo es el cuadrado:
Un cuadrado es un rectángulo cuyos lados tienen la misma longitud (se trata de un cuadrilátero regular).
El perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados, así que el perímetro de un rectángulo de altura a y base b es
El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura:
Ejemplo: ¿Cuál es el área de un rectángulo de perímetro 18cm si su altura mide 2cm?
La altura del rectángulo es a = 2.
La fórmula del perímetro es
Sustituimos P = 18 y a = 2 y resolvemos la ecuación:
La base es b = 7.
Calculamos el área del rectángulo:
El área del rectángulo es 14 cm2.
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Recordad que para calcular el cuadrado de una suma tenemos una fórmula:
Ahora bien, si no recordamos dicha fórmula o queremos saber de dónde viene, sólo tenemos que realizar una multiplicación.
Como a² = a·a, podemos escribir el cuadrado de la suma como un producto:
Observad que cada sumando del primer paréntesis debe multiplicar a cada uno del segundo. Además, hay que tener en cuenta que a·b = b·a.
Del mismo modo podemos demostrar la fórmula para el cuadrado de la resta.
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Como regla general, el cuadrado de la suma es distinto de la suma de los cuadrados. Es decir,
Por ejemplo, si a = 1 y b = 2, la suma de sus cuadrados y el cuadrado de su suma son distintos:
Para calcular el cuadrado de una suma disponemos de una sencilla fórmula:
Lo mismo ocurre cuando se trata de una resta:
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
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La distancia entre dos puntos (a, b) y (x, y) del plano se define como
Como la distancia es una raíz cuadrada, es siempre mayor o igual que 0.
Ejemplo 1: la distancia entre los puntos (2, 2) y (2, 4) es 2:
Representación:
Ejemplo 2: la distancia entre los puntos (-2, 6) y (-5, 2) es 5:
Representación:
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Seguramente la fórmula más utilizada para calcular el área, A, de un triángulo cualquiera de altura h y base b es
Sin embargo, disponemos también de otra sencilla fórmula que se utiliza con menos frecuencia, la cual es función de la longitud de los lados del triángulo en lugar de su base y altura: la fórmula de Herón.
Dado un triángulo de lados a, b y c
Entonces, su área es
siendo s su semiperímetro, que es la mitad de la suma de sus lados:
Ejemplo: calculamos el área del triángulo equilátero de lado 1:
Como el triángulo es equilátero, sus tres lados miden lo mismo: 1. Por tanto, su perímetro es 3 y su semiperímetro es 2/3:
Calculamos el área:
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El hexágono regular es el polígono regular de 6 lados.
Es decir, es el polígono que tiene 6 lados que miden lo mismo y sus ángulos internos miden 120º cada uno.
Lógicamente, el perímetro del hexágono regular de lado L es 6·L.
Para calcular el área necesitamos el lado, L, y el apotema, ap:
Ejemplo de aplicación: si el lado de un hexágono regular mide 6cm y su apotema mide 5.2cm,¿cuál es el perímetro y el área de dicho hexágono?
Los datos que tenemos son el lado y la apotema:
El perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados. Como el hexágono es regular, todos sus 6 lados miden lo mismo, así que su perímetro es
La fórmula del área del hexágono regular es
Como tenemos el lado y la apotema, sólo tenemos que sustituirlos en la fórmula:
Nota: no olvidemos que las unidades del área son al cuadrado.
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Un pentágono regular es un polígono regular de 5 lados.
Los 5 lados del pentágono regular miden lo mismo y sus ángulos interiores miden 108º.
Como tiene 5 lados iguales, el perímetro de un pentágono regular de lado L es P = 5·L.
Para calcular el área del pentágono regular se necesita su lado, L, y su apotema, ap:
Ejemplo de aplicación: Si el área de un pentágono regular es 5m2 y su apotema mide 1.17m, ¿Cuánto miden sus lados?
Como el pentágono es regular, su área viene dada por la fórmula
Como sabemos que el área es 5m2 y que la apotema mide 1.17m, al sustituir en la fórmula anterior, tenemos
De la expresión anterior podemos despejar L, que es la longitud de los lados del pentágono:
Como el área es en metros cuadrados, la medida obtenida es en metros.
Luego los lados del pentágono miden 1.71m.
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