Sistema de ecuaciones NO lineales

Las ecuaciones de un sistema de ecuaciones lineales tienen las incógnitas separadas en monomios distintos y sin exponentes.

Ejemplo 1: sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas (x e y):

Ejemplo 2: sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas (x, y y z):

Existen métodos básicos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales:

Y algunos métodos más avanzados del álgebra matricial:

Sistema de ecuaciones NO lineales

Cuando las ecuaciones no son lineales, la resolución del sistema es más compleja. Generalmente, no existe un método concreto para resolverlo, debido a la diversidad de las ecuaciones implicadas.

Ejemplo 3: sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

La primera ecuación no es lineal porque las incógnitas aparecen multiplicadas entre sí. La segunda ecuación sí es lineal.

En este caso en concreto, podemos resolver el sistema por sustitución.

Despejamos la x en la segunda ecuación:

Sustituimos en la primera ecuación:

Tenemos una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son y = 0 e y = 3. Sustituimos en la ecuación x = 2y/3 para obtener x = 0 y x = 2. Por tanto, este sistema de ecuaciones tiene dos soluciones distintas:

Gráfica: si representamos las dos ecuaciones, las dos soluciones son los puntos de intersección:

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17 enero, 202122 septiembre, 2021

Puntos equidistantes

Un punto P es equidistante de un conjunto de puntos x₁, x₂… x_n si la distancia de P a cada uno de estos puntos es la misma:

Ejemplo 1: El punto P = (0,1) es equidistante a los puntos x₁= (1, 1) y x₂ = (2, 0):

La distancia de P a los puntos estos puntos es 1.

Ejemplo 2: los puntos de la circunferencia de radio r y centro P es un conjunto de puntos equidistantes de P:

La distancia de todos los puntos de la circunferencia a su centro es igual al radio, r.

Ejemplo 3: en un cuadrado, los vértices equidistan del centro:

Observad que los vértices no son equidistantes entre sí.

Ejemplo 4: en un triángulo equilátero, los vértices son equidistantes entre sí:

También, los vértices equidistan del ortocentro:

Y además, los puntos medios de cada lado equidistan del ortocentro:

Nota: el ortocentro es el punto donde intersectan las tres alturas del triángulo.

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15 enero, 202122 septiembre, 2021

Distancia entre puntos del plano

La distancia entre dos puntos (a, b) y (x, y) del plano se define como

Como la distancia es una raíz cuadrada, es siempre mayor o igual que 0.

Ejemplo 1: la distancia entre los puntos (2, 2) y (2, 4) es 2:

Representación:

Ejemplo 2: la distancia entre los puntos (-2, 6) y (-5, 2) es 5:

Representación:

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20 diciembre, 202016 septiembre, 2021

Operaciones con paréntesis

Los paréntesis sirven para cambiar el orden de las operaciones agrupando partes de la expresión algebraica.

Un paréntesis también sirve para agrupar el conjunto de operaciones que contiene en su interior.

Ejemplo 1: si hay un número multiplicando a un paréntesis, dicho número debe multiplicar a todos los sumandos de su interior:

2·(3-x) = 2·3 – 2x = 6-2x

Ejemplo 2: otra opción es realizar primero las operaciones de dentro del paréntesis:

Si quitamos el paréntesis, cambia el orden de las operaciones y, por tanto, su resultado:

3 + 4·2 -1 = 3 + 8 – 1 = 10 ≠ 7

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

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15 diciembre, 202014 septiembre, 2021

¿Por qué hay fracciones distintas que son iguales?

Hay fracciones que tienen numerador y denominador distintos y, sin embargo, son iguales. Esto se debe a que representan al mismo número o fracción. Es fácil de comprender con una representación:

$Definiciones y conceptos de fracciones equivalentes y fracción irreductible. Veremos cómo saber si las fracciones son equivalentes y cómo calcular la fracción irreductible de una fracción. Con ejemplos y problemas explicados paso a paso. Secundaria. ESO$

Cuando hablamos, también usamos fracciones equivalentes. Por ejemplo, las siguientes expresiones significan lo mismo:

La mitad.
Uno de cada dos.
El 50%.

Una forma de comprobar que dos fracciones son iguales o equivalentes es calcular la división que representan (numerador divido entre denominador). El cociente de la división tiene que ser el mismo.

Por ejemplo, las fracciones 14/16 y 21/24 son equivalentes:

Se pueden obtener fracciones equivalentes multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número. Por ejemplo,

Dada una fracción, su fracción irreducible equivalente es la fracción equivalente cuyos numerador y denominador son lo más pequeños posible.

Por ejemplo, la fracción irreducible de 180/270 es la fracción 2/3.

Una forma de obtener la fracción irreducible de una fracción dada es dividir el numerador y denominador entre su máximo común divisor (MCD).

Por ejemplo, el MCD de 180 y 270 es 90, por tanto, la fracción irreducible es

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30 septiembre, 202015 septiembre, 2021

Desigualdad triangular

Dados dos números x e y cualesquiera, el valor absoluto de su suma es menor o igual que la suma de sus valores absolutos:

Veamos algunos ejemplos:

Sean x = 2 e y = -3, entonces el valor absoluto de su suma es

Y la suma de sus valores absolutos es

Obviamente, 1 es menor o igual que 5.

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25 septiembre, 202028 septiembre, 2021

¿La hipotenusa mide más que los catetos?

Dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h, sabemos, por el teorema de Pitágoras,

Recordad que la hipotenusa es el lado situado frente al ángulo recto (ángulo de 90 grados) y los dos otros lados son los catetos.

Aplicando el teorema de Pitágoras, la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 mide 5:

Esto sugiere algunas preguntas:

¿Es siempre la hipotenusa mayor que cualquiera de los catetos? Sí.
¿La hipotenusa puede medir lo mismo que alguno de los catetos? No.
¿La hipotenusa puede ser menor que alguno de los catetos? No.

En efecto,

La hipotenusa siempre mide más que los catetos.

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7 septiembre, 202022 septiembre, 2021

Postulados de Euclides

Los cinco postulados de Euclides son 5 proposiciones no demostrables a partir de los cuales se fundamenta toda la geometría clásica. Fueron presentados en la obra Elementos, escrita 300 a. C.

Primer postulado

Por dos puntos distintos pasa una recta.

Representación gráfica:

Segundo postulado

Un segmento rectilíneo puede prolongarse continuamente en una recta.

Representación gráfica:

Tercer postulado

Hay una única circunferencia para cada centro y diámetro.

Representación gráfica:

Cuarto postulado

Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Representación gráfica:

Quinto postulado

Al incidir una recta con otras dos, los ángulos internos del mismo lado son menores que el ángulo recto, las dos rectas, prolongadas indefinidamente, se encuentran en el lado en el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos.

Representación gráfica:

Este quinto postulado es mucho más complejo que los anteriores y, de hecho, suscitó polémica sobre si podía ser o no demostrado. Una versión equivalente y más sencilla de este postulado es:

Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela.

Representación gráfica:

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26 agosto, 202018 septiembre, 2021

Diferencia entre las medias aritmética y ponderada

Las medias aritméticas y ponderada son parámetros estadísticos que se calculan a partir de los datos.

Media aritmética

La media aritmética se calcula sumando los datos y dividiendo el resultado entre el número de datos.

Ejemplo: las notas de Manuel en el examen de matemáticas fueron: 5, 6, 5, 4, 6 y 4.

Calculamos la suma de los datos:

Como hay 6 datos, dividimos el resultado anterior entre 6:

La media de las notas es 5.

Significado: si Manuel tuviera la misma nota en todos los exámenes, sería la nota media, es decir, 5.

Si x₁, x₂… x_N son los datos, siendo N el número total de datos. Entonces la fórmula de la media aritmética es

Media ponderada

En ocasiones, algunos de los datos son más importantes o tienen más peso que los demás, por lo que cuando se calcula la media de los datos, se quiere que estos influyan más en el resultado.

A cada dato x_i le asigna un peso p_i y la media ponderada es

Es decir, se suman los datos multiplicados por su peso y el resultado se divide entre la suma de todos los pesos.

Ejemplo: notas de Manuel en los exámenes de matemáticas:

Nota en el examen 1: 3
Nota en el examen 2: 4
Nota en el examen 3 (examen final): 6

El profesor de matemáticas considera que la nota del examen 2 debe tener más peso que la nota del examen 1, y que la nota del examen 3 debe tener más peso que las notas de los otros dos exámenes. Por esta razón, el profesor asigna un PESO a cada una de los exámenes:

Calculamos la media ponderada (en el numerador, cada nota debe multiplicarse por su peso; en el denominador, se suman todos los pesos):

Por tanto, la nota media (ponderada) de Manuel es un 5,1, con lo que aprueba la asignatura de matemáticas.

Si en lugar de la media ponderada, el profesor calcula la media aritmética, la nota de Manuel sería

En este caso, Manuel no aprobaría la asignatura, aunque hubiese superado el examen final.

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25 agosto, 202014 septiembre, 2021

Moda, media y mediana

Media

Dado un conjunto de datos, para calcular la media, se suman los datos y se divide el resultado entre el número de datos.

Ejemplo: el número de hermanos de un grupo de 5 niños es 1, 3, 0, 2 y 2.

Calculamos la media (sumamos el número de hermanos y dividimos entre 5):

La media es 1.6 hermanos.

Moda

La moda es el dato que más se repite.

En el ejemplo anterior el dato que más se repite es 2. Por tanto, la moda es 2.

Mediana

La mediana es el dato que ocupa la posición central, pero los datos deben estar ordenados.

Ordenamos los datos del ejemplo anterior: 0, 1 , 3, 2 y 2. El que ocupa la posición central es 3. Por tanto, la mediana es 3.

Si el número de datos es par, no hay uno que sea central. En este caso, se calcula la media de los dos datos centrales.

Ejemplo: las alturas de un grupo de 10 amigos son 155, 155, 159, 159, 163, 163, 170, 171, 172 y 178.

Los datos ya están ordenados y como hay 10 datos, los centrales son los de las posiciones 5 y 6, es decir, 163 y 163. La media de estos dos datos es 163.:

Por tanto, la mediana de las alturas es 163.

Ejemplo: Las notas del examen de matemáticas de 15 alumnos son las siguientes: 5, 3, 9, 7, 3, 6, 7, 5, 8, 7, 5, 4, 7, 6 y 8. Calcular la media, moda y mediana de las notas.

Para calcular la media, sumamos las notas y dividimos entre 15:

Ordenamos los datos de menor a mayor:

3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9

La moda es 7 (es la nota que más se repite).

Como hay 15 datos (número impar), la mediana es el dato de la posición 16/2 = 8. La mediana es 6.

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