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19 agosto, 202014 septiembre, 2021

¿Qué es una ecuación irracional?

Una ecuación irracional es una ecuación en la que la incógnita se encuentra en una raíz.

Ejemplo de ecuación irracional sencilla:

Normalmente, para resolver este tipo de ecuaciones, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad:

La raíz cuadrada desaparece al elevar al cuadrado porque son operaciones inversas.

Siempre que resolvemos una ecuación irracional tenemos que comprobar que la solución verifica la ecuación inicial.

Sustituimos x = 3 en la ecuación:

Por tanto, x = 3 es la solución.

Ejemplo 2

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación obteniendo una ecuación de segundo grado:

La única solución de la ecuación de segundo grado es x = 1. Comprobamos si es la solución de la ecuación irracional:

Por tanto, es la solución.

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16 agosto, 20201 octubre, 2021

Interpretación geométrica de las ecuaciones

Comúnmente, se considera la solución de una ecuación como el valor que debe tomar x para que la igualdad de la ecuación se cumpla. Sin embargo, podemos ver una ecuación como una igualdad entre dos funciones. Para que sea más sencillo de explicar y entender, nos ayudaremos de un ejemplo.

Recordad que la gráfica de una función f es el conjunto de puntos (x, f(x)). Teniendo esto en cuenta, si la gráfica de la función f y de la función g se cortan, lo hacen en un punto común (a, b) siendo b = f(a) = g(a).

Ejemplo

Sea la ecuación de primer grado

Consideremos esta ecuación como una igualdad entre dos funciones:

Lógicamente, las funciones f y g son

Como f(x) es la imagen de x mediante f y g(x) es la imagen de x mediante g, al igualar f(x) = g(x), estamos igualando las imágenes de x mediante f y g. Por tanto, la solución de la ecuación f(x) = g(x) son los valores que debe tomar x para que f(x) = g(x) y son, por ende, las primeras coordenadas de los puntos de corte entre las gráficas de f y g.

Resolvemos la ecuación del ejemplo:

Como la ecuación sólo tiene una solución, las gráficas de f y de g se cortan en un único punto: el punto cuya primera coordenada es x = 1. Calculamos la segunda coordenada de dicho punto:

Luego el punto de corte de las gráficas de f y de g es (1, 1).

Gráficas:

Al considerar una ecuación como una igualdad entre funciones para hallar sus puntos de corte, es fácil ver que pueden darse las siguientes situaciones:

Una ecuación puede no tener solución (real). Ocurre cuando las dos gráficas no se cortan:

Una ecuación puede tener una única solución. Ocurre cuando las dos gráficas se cortan en un único punto:

Una ecuación puede tener varias soluciones. Ocurre cuando las dos gráficas se cortan en varios puntos:

Una ecuación puede tener infinitas soluciones. Ocurre cuando las dos gráficas son iguales (se cortan en todos sus puntos) o cuando se cortan en infinitos puntos pero no en todos:

Ahora bien, el número de soluciones dependerá de las funciones implicadas.

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4 agosto, 202023 septiembre, 2021

Raíz cuadrada de una multiplicación

La raíz cuadrada de un producto de factores es igual al producto de las raíces cuadradas de los factores:

Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 por la de 3 es la raíz cuadrada de 6:

Como consecuencia,

La raíz cuadrada desaparece al elevar al cuadrado:

Además, de lo anterior se tiene que

Se puede introducir o extraer el cuadrado en una raíz cuadrada:

Por ejemplo,

Ejemplo 1 del uso de estas propiedades para calcular raíces:

Ejemplo 2

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3 agosto, 202023 septiembre, 2021

¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo?

Sí, existe la raíz cuadrada de un número negativo.

La unidad imaginaria se denota por i y se define como la raíz cuadrada de -1:

El cuadrado de la unidad imaginaria es -1:

Con la invención del número imaginario ya podemos trabajar con raíces cuadradas de números negativos (nos ayudaremos de la propiedad del producto de raíces).

Veamos algunos ejemplos:

Raíces cuadradas de -4:

Raíces cuadradas de -25:

Observad que, entonces, sí hay números cuyo cuadrado es negativo: los números imaginarios.

Por ejemplo,

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14 julio, 202024 septiembre, 2021

Hexágono regular

El hexágono regular es el polígono regular de 6 lados.

Es decir, es el polígono que tiene 6 lados que miden lo mismo y sus ángulos internos miden 120º cada uno.

Lógicamente, el perímetro del hexágono regular de lado L es 6·L.

Para calcular el área necesitamos el lado, L, y el apotema, ap:

Ejemplo de aplicación: si el lado de un hexágono regular mide 6cm y su apotema mide 5.2cm,¿cuál es el perímetro y el área de dicho hexágono?

Los datos que tenemos son el lado y la apotema:

El perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados. Como el hexágono es regular, todos sus 6 lados miden lo mismo, así que su perímetro es

La fórmula del área del hexágono regular es

Como tenemos el lado y la apotema, sólo tenemos que sustituirlos en la fórmula:

Nota: no olvidemos que las unidades del área son al cuadrado.

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9 julio, 202024 septiembre, 2021

Pentágono regular

Un pentágono regular es un polígono regular de 5 lados.

Los 5 lados del pentágono regular miden lo mismo y sus ángulos interiores miden 108º.

Como tiene 5 lados iguales, el perímetro de un pentágono regular de lado L es P = 5·L.

Para calcular el área del pentágono regular se necesita su lado, L, y su apotema, ap:

Ejemplo de aplicación: Si el área de un pentágono regular es 5m² y su apotema mide 1.17m, ¿Cuánto miden sus lados?

Como el pentágono es regular, su área viene dada por la fórmula

Como sabemos que el área es 5m² y que la apotema mide 1.17m, al sustituir en la fórmula anterior, tenemos

De la expresión anterior podemos despejar L, que es la longitud de los lados del pentágono:

Como el área es en metros cuadrados, la medida obtenida es en metros.

Luego los lados del pentágono miden 1.71m.

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30 junio, 202014 septiembre, 2021

Sólidos platónicos

Los sólidos platónicos son las siguientes figuras:

El tetraedro tiene 4 caras.
El hexaedro tiene 6 caras.
El octaedro tiene 8 caras.
El dodecaedro tiene 12 caras.
El icosaedro tiene 20 caras.

Los sólidos platónicos tienen propiedades comunes, por ejemplo:

Todas las caras son polígonos regulares iguales.
Todos los ángulos (diedros) son iguales.
Todas las aristas tienen la misma longitud.
En todos los vértices concurren el mismo número de caras y de aristas.

Y, seguramente, la propiedad más importante es:

Sólo existen cinco poliedros regulares y son los expuestos anteriormente.

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23 junio, 202021 septiembre, 2021

Teorema del seno

El teorema del seno es un conocido e importante resultado de trigonometría que dice así:

Sea un triángulo cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ (son los ángulos opuestos a los lados, respectivamente). Entonces, se cumple la relación

Veamos dos ejemplos de aplicación:

Ejemplo 1: en el siguiente triángulo de lados a = 8cm y b = 7cm. Calcular cuánto mide el ángulo β sabiendo que el ángulo γ mide 45º.

Como conocemos los lados a y b y el ángulo α, aplicamos el teorema del seno:

Por tanto,

Despejamos el seno de β:

Finalmente, despejamos β utilizando la inversa del seno (arcoseno):

Luego el ángulo es

Ejemplo 2: se tiene un triángulo con ángulos α = 67° y β = 36° y un lado a = 6cm. ¿Cuánto mide el lado c?

Para calcular el lado c necesitamos conocer el ángulo γ.

Recordemos que en todo triángulo la suma de sus ángulos internos es 180°, es decir, tenemos la ecuación:

Despejamos el ángulo γ:

Sustituimos los valores:

Luego el ángulo es γ = 77º.

Ahora podemos aplicar el teorema del seno:

Sustituimos los datos:

Por tanto,

Luego el lado c mide 6.35 cm.

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12 junio, 202012 septiembre, 2021

Fórmula del movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Un móvil realiza un movimiento rectilíneo uniforme cuando:

Se mueve en línea recta (rectilíneo)
Su velocidad es constante (uniforme)

En este movimiento, la fórmula más sencilla es la siguiente:

siendo

d la distancia recorrida,
v la velocidad del móvil
t el tiempo que dura el movimiento

Para calcular la velocidad o el tiempo, despejamos en la ecuación anterior:

Esta fórmula nos indica que

La distancia recorrida es directamente proporcional a la velocidad y al tiempo.
La velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales entre sí.

Esto significa:

Cuanto mayor es la velocidad o el tiempo, mayor es la distancia recorrida.
Cuanto mayor es la velocidad, menos tiempo se requiere para recorrer una distancia.

Ejemplo 1:

Si un móvil que se mueve a velocidad constante recorre 1km en 10 minutos, entonces en 20 minutos recorre 2km.

Generalmente, expresamos

la velocidad en km/h (kilómetros por hora)
el tiempo en h (horas)
la distancia recorrida en km (kilómetros)

Para poder aplicar la fórmula, debemos asegurarnos de que las unidades de medida sean acordes. No podemos escribir la velocidad en km/h y el tiempo en min (minutos) o la distancia recorrida en m (metros).

Ejemplo 2: ¿A qué velocidad debe circular un auto de carreras para recorrer 50km en un cuarto de hora?

Como la distancia es en kilómetros, vamos a escribir el tiempo en unidades de hora para tener la velocidad en km/h.

El tiempo que dura el movimiento es

La distancia recorrida por el móvil es

Por tanto, su velocidad debe ser

Ejemplo 3: Una bicicleta circula en línea recta a una velocidad de 15km/h durante 45 minutos. ¿Qué distancia recorre?

La velocidad de la bicicleta es

El tiempo que dura el movimiento es

Como las unidades de velocidad son kilómetros por hora y el tiempo está en minutos, tenemos que pasar el tiempo t de minutos a horas (dividiendo entre 60):

Calculamos la distancia que recorre la bicicleta:

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14 mayo, 2020

Límites de restas de raíces

Anteriormente, vimos cómo calcular el límite de una raíz y el límite de una fracción de raíces. En este post explicamos cómo calcular límites de restas de raíces.

Para calcular el límite de una resta de raíces cuadradas usaremos la fórmula