Teorema de Rolle

En este post vamos a ver un importante teorema del cálculo diferencial: el teorema de Rolle.

Teorema de Rolle:

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto ]a, b[ y con f(a) = f(b). Entonces, existe al menos un punto c del intervalo abierto ]a, b[ que anula a la derivada de f, es decir, f'(c)=0.

Interpretación:

Como la función es continua y f(a) = f(b), entonces hay dos opciones:

La función es constante, es decir, f(x) = f(a) = f(b). En este caso, sabemos que la derivada de f se anula.
La función no es constante y, por tanto, presenta algún máximo o mínimo. En estos puntos (los máximos o mínimos) es donde se anula la derivada.

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12 octubre, 202021 septiembre, 2021

Cálculo de áreas (regla de Barrow)

La regla de Barrow

Sea F(x) una función primitiva de la función f(x), es decir, la derivada de F(x) es f(x). Entonces, la regla de Barrow establece que la integral definida de f(x) en el intervalo [a, b] es F(b)-F(a):

Ejemplo: la función F(x) = x² es una primitiva de la función f(x) = 2x. Por tanto, por la regla de Barrow, la integral definida de f(x) en el intervalo [0, 1] es

F(1) – F(0) = 1² – 0² = 1

Aplicaciones

La gran aplicación de la regla de Barrow es el cálculo del área que encierra la gráfica de una función con el eje de abscisas.

Supongamos, para simplificar los cálculos, que la función f(x) tiene su gráfica por encima del eje de abscisas para a ≤ x ≤ b:

Entonces, el área de la región encerrada entre la gráfica de f(x) y el eje de abscisas en el intervalo [a, b] es la integral definida de f(x) en [a, b], que por la regla de Barrow sabemos que es F(b)-F(a).

En el ejemplo anterior hemos calculado que el área encerrada por la gráfica de f(x) = 2x en [0, 1] es 1 .

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6 octubre, 202021 septiembre, 2021

Fórmula de Herón

Seguramente la fórmula más utilizada para calcular el área, A, de un triángulo cualquiera de altura h y base b es

Herón de Alejandría: biografía y la fórmula y el método de Herón (área de un triángulo y aproximación de raíces cuadradas)

Sin embargo, disponemos también de otra sencilla fórmula que se utiliza con menos frecuencia, la cual es función de la longitud de los lados del triángulo en lugar de su base y altura: la fórmula de Herón.

Fórmula de Herón

Dado un triángulo de lados a, b y c

Entonces, su área es

siendo s su semiperímetro, que es la mitad de la suma de sus lados:

Ejemplo: calculamos el área del triángulo equilátero de lado 1:

Como el triángulo es equilátero, sus tres lados miden lo mismo: 1. Por tanto, su perímetro es 3 y su semiperímetro es 2/3:

Calculamos el área:

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3 octubre, 202021 septiembre, 2021

Semiperímetro

El perímetro de un polígono es la suma de todos sus lados.

El semiperímetro de un polígono es la mitad de su perímetro.

Aunque sea un concepto aparentemente poco útil, tiene algunas aplicaciones, razón por la que debemos conocerlo. Por ejemplo, el semiperímetro se utiliza para calcular el área de un triángulo mediante la fórmula de Herón.

Ejemplo 1

El perímetro de una triángulo equilátero cuyos lados miden 1 es 3. Por tanto, el semiperímetro es 1,5.

Ejemplo 2

El perímetro de un cuadrado de lado 4cm es 16cm. Por tanto, su semiperímetro es 8cm.

Ejemplo 3

El perímetro de un pentágono regular de lado 1,5 es 7,5. Por tanto, su semiperímetro es 3,75.

Ejemplo 4

El perímetro de un hexágono regular de lado 2 es 12. Por tanto, su semiperímetro es 6.

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30 septiembre, 202015 septiembre, 2021

Desigualdad triangular

Dados dos números x e y cualesquiera, el valor absoluto de su suma es menor o igual que la suma de sus valores absolutos:

Veamos algunos ejemplos:

Sean x = 2 e y = -3, entonces el valor absoluto de su suma es

Y la suma de sus valores absolutos es

Obviamente, 1 es menor o igual que 5.

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25 septiembre, 202028 septiembre, 2021

¿La hipotenusa mide más que los catetos?

Dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h, sabemos, por el teorema de Pitágoras,

Recordad que la hipotenusa es el lado situado frente al ángulo recto (ángulo de 90 grados) y los dos otros lados son los catetos.

Aplicando el teorema de Pitágoras, la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 mide 5:

Esto sugiere algunas preguntas:

¿Es siempre la hipotenusa mayor que cualquiera de los catetos? Sí.
¿La hipotenusa puede medir lo mismo que alguno de los catetos? No.
¿La hipotenusa puede ser menor que alguno de los catetos? No.

En efecto,

La hipotenusa siempre mide más que los catetos.

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7 septiembre, 202022 septiembre, 2021

Postulados de Euclides

Los cinco postulados de Euclides son 5 proposiciones no demostrables a partir de los cuales se fundamenta toda la geometría clásica. Fueron presentados en la obra Elementos, escrita 300 a. C.

Primer postulado

Por dos puntos distintos pasa una recta.

Representación gráfica:

Segundo postulado

Un segmento rectilíneo puede prolongarse continuamente en una recta.

Representación gráfica:

Tercer postulado

Hay una única circunferencia para cada centro y diámetro.

Representación gráfica:

Cuarto postulado

Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Representación gráfica:

Quinto postulado

Al incidir una recta con otras dos, los ángulos internos del mismo lado son menores que el ángulo recto, las dos rectas, prolongadas indefinidamente, se encuentran en el lado en el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos.

Representación gráfica:

Este quinto postulado es mucho más complejo que los anteriores y, de hecho, suscitó polémica sobre si podía ser o no demostrado. Una versión equivalente y más sencilla de este postulado es:

Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela.

Representación gráfica:

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26 agosto, 202018 septiembre, 2021

Diferencia entre las medias aritmética y ponderada

Las medias aritméticas y ponderada son parámetros estadísticos que se calculan a partir de los datos.

Media aritmética

La media aritmética se calcula sumando los datos y dividiendo el resultado entre el número de datos.

Ejemplo: las notas de Manuel en el examen de matemáticas fueron: 5, 6, 5, 4, 6 y 4.

Calculamos la suma de los datos:

Como hay 6 datos, dividimos el resultado anterior entre 6:

La media de las notas es 5.

Significado: si Manuel tuviera la misma nota en todos los exámenes, sería la nota media, es decir, 5.

Si x₁, x₂… x_N son los datos, siendo N el número total de datos. Entonces la fórmula de la media aritmética es

Media ponderada

En ocasiones, algunos de los datos son más importantes o tienen más peso que los demás, por lo que cuando se calcula la media de los datos, se quiere que estos influyan más en el resultado.

A cada dato x_i le asigna un peso p_i y la media ponderada es

Es decir, se suman los datos multiplicados por su peso y el resultado se divide entre la suma de todos los pesos.

Ejemplo: notas de Manuel en los exámenes de matemáticas:

Nota en el examen 1: 3
Nota en el examen 2: 4
Nota en el examen 3 (examen final): 6

El profesor de matemáticas considera que la nota del examen 2 debe tener más peso que la nota del examen 1, y que la nota del examen 3 debe tener más peso que las notas de los otros dos exámenes. Por esta razón, el profesor asigna un PESO a cada una de los exámenes:

Calculamos la media ponderada (en el numerador, cada nota debe multiplicarse por su peso; en el denominador, se suman todos los pesos):

Por tanto, la nota media (ponderada) de Manuel es un 5,1, con lo que aprueba la asignatura de matemáticas.

Si en lugar de la media ponderada, el profesor calcula la media aritmética, la nota de Manuel sería

En este caso, Manuel no aprobaría la asignatura, aunque hubiese superado el examen final.

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25 agosto, 202014 septiembre, 2021

Moda, media y mediana

Media

Dado un conjunto de datos, para calcular la media, se suman los datos y se divide el resultado entre el número de datos.

Ejemplo: el número de hermanos de un grupo de 5 niños es 1, 3, 0, 2 y 2.

Calculamos la media (sumamos el número de hermanos y dividimos entre 5):

La media es 1.6 hermanos.

Moda

La moda es el dato que más se repite.

En el ejemplo anterior el dato que más se repite es 2. Por tanto, la moda es 2.

Mediana

La mediana es el dato que ocupa la posición central, pero los datos deben estar ordenados.

Ordenamos los datos del ejemplo anterior: 0, 1 , 3, 2 y 2. El que ocupa la posición central es 3. Por tanto, la mediana es 3.

Si el número de datos es par, no hay uno que sea central. En este caso, se calcula la media de los dos datos centrales.

Ejemplo: las alturas de un grupo de 10 amigos son 155, 155, 159, 159, 163, 163, 170, 171, 172 y 178.

Los datos ya están ordenados y como hay 10 datos, los centrales son los de las posiciones 5 y 6, es decir, 163 y 163. La media de estos dos datos es 163.:

Por tanto, la mediana de las alturas es 163.

Ejemplo: Las notas del examen de matemáticas de 15 alumnos son las siguientes: 5, 3, 9, 7, 3, 6, 7, 5, 8, 7, 5, 4, 7, 6 y 8. Calcular la media, moda y mediana de las notas.

Para calcular la media, sumamos las notas y dividimos entre 15: