Teoría y ejercicios resueltos de matemáticas
Un hexágono es un polígono de 6 lados y 6 vértices. Es regular si todos los lados miden lo mismo y los ángulos interiores son de 120º:
La apotema de un hexágono regular de lado L es
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Un pentágono es un polígono de 5 lados y 5 vértices. Es regular si todos los lados miden lo mismo y los ángulos interiores son de 108º:
La apotema (ap) de un polígono regular es la distancia de cualquiera de sus lados al centro del polígono:
Observad que la apotema une el punto medio de cada lado con el centro del polígono.
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Cuando tenemos un paréntesis dentro de otro, para calcular las operaciones podemos empezar por el paréntesis de dentro o por el de fuera. Por ejemplo,
Tenemos dos opciones:
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Puede darse el caso de que un paréntesis multiplique a otro.
Por ejemplo,
En estos casos, tenemos dos opciones:
Ambas opciones son correctas, pero normalmente tenemos que usar la segunda opción porque no podemos operar dentro del paréntesis. Por ejemplo,
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Lo que hace el signo negativo delante del paréntesis es cambiar los signos de los sumandos que contiene (puesto que se multiplican por -1). Por ejemplo,
Lo mismo ocurre cuando delante del paréntesis hay un número con signo negativo, el cuál multiplica a todo el paréntesis cambiando los signos:
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Cuando un número multiplica a un paréntesis, podemos proceder de dos formas:
Ambas opciones son correctas y se obtiene el mismo resultado. No obstante, en ocasiones nos vemos obligados a la segunda opción por no poder realizar las operaciones del paréntesis. Por ejemplo,
Si en lugar de una multiplicación tenemos una división, se procede del mismo modo. Por ejemplo,
O bien,
Si el número que multiplica o divide a un paréntesis en negativo, tenemos que tenerlo en cuenta al eliminar el paréntesis:
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Cuando resolvemos una ecuación, los números que están sumando pasan restando al otro lado de la igualdad; y los que están restando pasan al otro lado sumando.
Por ejemplo,
Pero ¿por qué esto es correcto?
Para que una igualdad sea cierta, lo que hay a los dos lados del signo “=” debe ser lo mismo o tener el mismo resultado.
Por ejemplo,
Si queremos sumar 1 en el lado izquierdo, tenemos que hacerlo también en el lado derecho para mantener la igualdad:
Ocurre lo mismo si queremos restar:
Y, también, si queremos multiplicar (o dividir):
Supongamos que tenemos la siguiente igualdad:
Por lo dicho anteriormente, podemos restar 1 en ambos lados y la igualdad se mantiene:
Los dos 1 del lado izquierdo se cancelan:
Resumiendo, hemos partido de la igualdad 2+1 = 3 y hemos llegado a la igualdad 2 = 3 -1. Es decir,
Por tanto, podemos decir que lo que suma en un lado puede pasar al otro lado restando.
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Para ver que el número 0 es par, debemos recordar los conceptos y propiedades de los números pares y los números impares.
Los números pares son los números enteros que son múltiplos de 2, es decir, los números que se obtienen al multiplicar otro número por 2.
Ejemplo: el 2, el 4 y el 6 son pares porque
Los números pares también se definen como los números divisibles entre 2, es decir, como los números cuya división entre 2 tienen como resultado un número entero.
Si un número a es par, existe algún número entero n tal que
Los números impares son los números enteros que no son pares.
Como 1, 3 y 5 no son divisibles entre 2 (el resultado no es un número entero), son números impares.
Si un número a es impar, entonces existe algún número entero n tal que
El número 0 es par porque es múltiplo de 2:
Además, la división 0 entre 2 es un número entero:
Además, si 0 fuese un número impar, debería existir un número entero n tal que
Pero, si resolvemos la ecuación anterior, tenemos que n ha de ser un número no entero:
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Recordad que la ecuación de la circunferencia de centro P = (a, b) y radio R es
Los puntos cuyas coordenadas cumplen dicha ecuación forman parte de la circunferencia.
Un círculo es una circunferencia que incluye los puntos de su interior. La distancia de dichos puntos del interior hasta el centro de la circunferencia es menor que el radio. Por tanto, la ecuación del círculo de centro (a, b) y radio R es
Finalmente, si no queremos el borde del círculo, escribimos el signo de desigualdad estricta:
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Es frecuente escuchar a gente decir que el resultado de dividir entre 0 es infinito. Sin embargo, esto no es correcto: no se puede dividir entre 0 y, en los supuestos casos en que “se puede”, el resultado no sería siempre infinito. A continuación, mostramos explicamos el por qué y el origen de este falso mito.
Se dice que el resultado es infinito porque cuanto más se acerca el divisor a 0, más grande es el resultado de la división. Por ejemplo,
En el cálculo diferencial, dada una función y = f(x), el límite de dicha función en el punto x = a se denota por
Y puede verse como el número al que se aproxima la función y = f(x) cuando x se aproxima a x = a.
Por ejemplo, consideremos la función f(x) = 2/x² cuya gráfica es la siguiente:
Observando la gráfica se aprecia claramente que cuando x se aproxima a 0 los valores y = f(x) crecen mucho. Por ejemplo,
La función y = f(x) crece infinitamente cuando x se aproxima a 0, por lo que se dice que la función tiene límite infinito:
El cálculo de límites a veces resulta un poco complicado, razón por la que se utilizan ciertas reglas que SÓLO tienen sentido cuando trabajamos con límites. Una de estas reglas es que un número distinto de 0 dividido entre 0 es infinito. Por ejemplo, usamos esta regla para calcular el límite anterior:
Nota: técnicamente, la igualdad anterior no es correcta (por eso se escribe en rojo).
Veamos otro ejemplo:
Es importante remarcar que esta regla exige que sea un número DISTINTO de 0 dividido entre 0, ya que 0/0 es una indeterminación (indeterminación 0/0) que en cada límite puede tener un resultado distinto.
Por ejemplo,
Y, sin embargo, si sustituimos x = 0 en los límites, tenemos la fracción 0/0:
Como conclusión, el resultado de dividir entre cero no es infinito. De hecho, ni siquiera está permitida la operación “dividido entre 0”, como hemos visto. Ahora bien, en el cálculo diferencial se utiliza la regla “un número entre 0 es infinito” sólo para referirse a que el resultado de dividir entre números cercanos a cero es un número muy grande.
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