¿Por qué lo que suma pasa al otro lado restando?

Cuando resolvemos una ecuación, los números que están sumando pasan restando al otro lado de la igualdad; y los que están restando pasan al otro lado sumando.

Por ejemplo,

Pero ¿por qué esto es correcto?

Para que una igualdad sea cierta, lo que hay a los dos lados del signo “=” debe ser lo mismo o tener el mismo resultado.

Por ejemplo,

Si queremos sumar 1 en el lado izquierdo, tenemos que hacerlo también en el lado derecho para mantener la igualdad:

Ocurre lo mismo si queremos restar:

Y, también, si queremos multiplicar (o dividir):

Supongamos que tenemos la siguiente igualdad:

Por lo dicho anteriormente, podemos restar 1 en ambos lados y la igualdad se mantiene:

Los dos 1 del lado izquierdo se cancelan:

Resumiendo, hemos partido de la igualdad 2+1 = 3 y hemos llegado a la igualdad 2 = 3 -1. Es decir,

Por tanto, podemos decir que lo que suma en un lado puede pasar al otro lado restando.

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17 octubre, 202118 septiembre, 2021

Ecuación del círculo

Recordad que la ecuación de la circunferencia de centro P = (a, b) y radio R es

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Los puntos cuyas coordenadas cumplen dicha ecuación forman parte de la circunferencia.

Un círculo es una circunferencia que incluye los puntos de su interior. La distancia de dichos puntos del interior hasta el centro de la circunferencia es menor que el radio. Por tanto, la ecuación del círculo de centro (a, b) y radio R es

Finalmente, si no queremos el borde del círculo, escribimos el signo de desigualdad estricta:

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3 octubre, 202118 septiembre, 2021

Ecuación de una circunferencia

La circunferencia de radio R y centro P = (a, b) es el conjunto de puntos del plano tales que su distancia al punto P es exactamente R:

Dichos puntos cumplen una ecuación, la ecuación de la circunferencia, que es la siguiente:

Si queremos saber si un punto forma parte de una circunferencia dada (o de un círculo), sólo tenemos que comprobar si sus coordenadas cumplen la ecuación.

Ejemplo: la circunferencia x ²+ y² = 1 tiene centro (0,0) y su radio es 1

El punto (0, 1) es de la circunferencia y, por tanto, sus coordenadas cumplen la ecuación de la circunferencia:

Sin embargo, el punto (1, 1) no cumple la ecuación porque no es un punto de la circunferencia:

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28 septiembre, 2021

Ecuaciones con fracciones

Fracciones con igual denominador

Si tenemos una ecuación con fracciones con el mismo denominador, para eliminar las fracciones de la ecuación sólo tenemos que multiplicar TODOS los sumandos de la ecuación por el denominador.

Ejemplo:

$Explicamos cómo resolver ecuaciones con fracciones: tenemos que multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. También, recordamos algunas propiedades de las fracciones. Con ejemplos y ecuaciones resueltas. Secundaria. ESO. Álgebra. Matemáticas.$

Multiplicamos todos los sumandos por el único denominador 2 y los denominadores desaparecen:

Resolver la ecuación es muy sencillo ahora:

Fracciones con distinto denominador

Si tenemos una ecuación con denominadores distintos, podemos multiplicar TODOS los sumandos de la ecuación por el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm) de los denominadores.

Recordad que para calcular el mcm de dos números tenemos que descomponerlos en un producto de potencias de números primos y escoger los factores comunes y no comunes al mayor exponente.

Ejemplo:

Podemos reescribir la ecuación extrayendo las x del numerador:

Tenemos los denominadores 2 y 3. Como son números primos, su mínimo común múltiplo es 6, así que multiplicamos todos los sumandos por 6:

Resolvemos la ecuación:

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27 septiembre, 202119 septiembre, 2021

Encontrar la parábola a partir de su gráfica

Observando la gráfica de una parábola podemos obtener la siguiente información:

Las coordenadas del vértice.
Las coordenadas de 3 puntos distintos de la gráfica.
Los puntos de corte con el eje abscisas.

Esta información es suficiente para hallar la ecuación de una parábola, la cual tiene la forma

siendo a ≠ 0.

Ahora, recordamos algunos conceptos que nos ayudarán a obtener los coeficientes a, b y c a partir de la gráfica de la parábola.

Vértice

Todas las parábolas tienen forma de $\cup$ (si a>0) o de $\cap$ (si a<0). En cualquier caso, el punto más alto o máximo (si a>0) o el punto más bajo o mínimo (si a<0) de la parábola es el punto cuya primera coordenada es

Ejemplo de una parábola con forma de $\cup$ (verde) y otra con forma de $\cap$ (azul):

Raíces

Los puntos (α, 0) de la parábola cortan al eje de abscisas. Una parábola puede tener 1, 2 o ningún punto de corte con este eje. Se pueden dar 3 casos.

Caso 1:

La parábola tiene dos raíces (reales) distintas: α y β. Entonces, se cumple la siguiente igualdad:

Caso 2:

La parábola tiene una única raíz (real): α. Entonces, se cumple que

Caso 3:

La parábola no tiene raíces. En este caso, no podemos usar las raíces para encontrar la ecuación.

Obtener la ecuación

Una forma de obtener la ecuación de la parábola es hacerlo resolviendo un sistema de ecuaciones lineales a partir de 3 puntos distintos de la parábola. Sin embargo, este método puede ser engorroso, así que es preferible utilizar las propiedades vistas anteriormente: coordenadas del vértice, puntos de corte, etc.

Ejemplo 1: encontrar la ecuación de la parábola que corta al eje de las abscisas en los puntos (1, 0) y (3, 0) y que pasa al eje de ordenadas en el punto (0, 9).

De los puntos de corte con el eje de abscisas sabemos que las raíces de la función parabólica son x = 1 y x = 3. Por tanto, la ecuación de la parábola es

Falta conocer el coeficiente $a$ , pero podemos hallarlo sabiendo que la parábola pasa por el punto (0, 9). Sólo tenemos que sustituir las coordenadas:

Por tanto, la ecuación de la parábola es

O bien, si calculamos los productos,

Gráfica:

Ejemplo 2: hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en el punto (1, 1) y que pasa por el punto (0, -3).

Sabemos que la primera coordenada del vértice es

Por tanto, como el vértice está en (1, 1), tenemos

Por otro lado, podemos sustituir las coordenadas del punto (0, -3) en la ecuación general de la parábola:

Sustituimos $c = - 3$ y $b = - 2 a$ n la ecuación:

Nos falta hallar el coeficiente $a$ , pero también podemos sustituir las coordenadas del vértice (1, 1) en la ecuación:

Luego la ecuación de la parábola es

Gráfica:

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19 agosto, 202014 septiembre, 2021

¿Qué es una ecuación irracional?

Una ecuación irracional es una ecuación en la que la incógnita se encuentra en una raíz.

Ejemplo de ecuación irracional sencilla:

Normalmente, para resolver este tipo de ecuaciones, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad:

La raíz cuadrada desaparece al elevar al cuadrado porque son operaciones inversas.

Siempre que resolvemos una ecuación irracional tenemos que comprobar que la solución verifica la ecuación inicial.

Sustituimos x = 3 en la ecuación:

Por tanto, x = 3 es la solución.

Ejemplo 2

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación obteniendo una ecuación de segundo grado:

La única solución de la ecuación de segundo grado es x = 1. Comprobamos si es la solución de la ecuación irracional:

Por tanto, es la solución.

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16 agosto, 20201 octubre, 2021

Interpretación geométrica de las ecuaciones

Comúnmente, se considera la solución de una ecuación como el valor que debe tomar x para que la igualdad de la ecuación se cumpla. Sin embargo, podemos ver una ecuación como una igualdad entre dos funciones. Para que sea más sencillo de explicar y entender, nos ayudaremos de un ejemplo.

Recordad que la gráfica de una función f es el conjunto de puntos (x, f(x)). Teniendo esto en cuenta, si la gráfica de la función f y de la función g se cortan, lo hacen en un punto común (a, b) siendo b = f(a) = g(a).

Ejemplo

Sea la ecuación de primer grado

Consideremos esta ecuación como una igualdad entre dos funciones:

Lógicamente, las funciones f y g son

Como f(x) es la imagen de x mediante f y g(x) es la imagen de x mediante g, al igualar f(x) = g(x), estamos igualando las imágenes de x mediante f y g. Por tanto, la solución de la ecuación f(x) = g(x) son los valores que debe tomar x para que f(x) = g(x) y son, por ende, las primeras coordenadas de los puntos de corte entre las gráficas de f y g.

Resolvemos la ecuación del ejemplo:

Como la ecuación sólo tiene una solución, las gráficas de f y de g se cortan en un único punto: el punto cuya primera coordenada es x = 1. Calculamos la segunda coordenada de dicho punto:

Luego el punto de corte de las gráficas de f y de g es (1, 1).

Gráficas:

Al considerar una ecuación como una igualdad entre funciones para hallar sus puntos de corte, es fácil ver que pueden darse las siguientes situaciones:

Una ecuación puede no tener solución (real). Ocurre cuando las dos gráficas no se cortan:

Una ecuación puede tener una única solución. Ocurre cuando las dos gráficas se cortan en un único punto:

Una ecuación puede tener varias soluciones. Ocurre cuando las dos gráficas se cortan en varios puntos:

Una ecuación puede tener infinitas soluciones. Ocurre cuando las dos gráficas son iguales (se cortan en todos sus puntos) o cuando se cortan en infinitos puntos pero no en todos:

Ahora bien, el número de soluciones dependerá de las funciones implicadas.

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12 junio, 202012 septiembre, 2021

Fórmula del movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Un móvil realiza un movimiento rectilíneo uniforme cuando:

Se mueve en línea recta (rectilíneo)
Su velocidad es constante (uniforme)

En este movimiento, la fórmula más sencilla es la siguiente:

siendo

d la distancia recorrida,
v la velocidad del móvil
t el tiempo que dura el movimiento

Para calcular la velocidad o el tiempo, despejamos en la ecuación anterior:

Esta fórmula nos indica que

La distancia recorrida es directamente proporcional a la velocidad y al tiempo.
La velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales entre sí.

Esto significa:

Cuanto mayor es la velocidad o el tiempo, mayor es la distancia recorrida.
Cuanto mayor es la velocidad, menos tiempo se requiere para recorrer una distancia.

Ejemplo 1:

Si un móvil que se mueve a velocidad constante recorre 1km en 10 minutos, entonces en 20 minutos recorre 2km.

Generalmente, expresamos

la velocidad en km/h (kilómetros por hora)
el tiempo en h (horas)
la distancia recorrida en km (kilómetros)

Para poder aplicar la fórmula, debemos asegurarnos de que las unidades de medida sean acordes. No podemos escribir la velocidad en km/h y el tiempo en min (minutos) o la distancia recorrida en m (metros).

Ejemplo 2: ¿A qué velocidad debe circular un auto de carreras para recorrer 50km en un cuarto de hora?

Como la distancia es en kilómetros, vamos a escribir el tiempo en unidades de hora para tener la velocidad en km/h.

El tiempo que dura el movimiento es

La distancia recorrida por el móvil es

Por tanto, su velocidad debe ser

Ejemplo 3: Una bicicleta circula en línea recta a una velocidad de 15km/h durante 45 minutos. ¿Qué distancia recorre?

La velocidad de la bicicleta es

El tiempo que dura el movimiento es

Como las unidades de velocidad son kilómetros por hora y el tiempo está en minutos, tenemos que pasar el tiempo t de minutos a horas (dividiendo entre 60):

Calculamos la distancia que recorre la bicicleta:

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¿Para qué sirven las Ecuaciones?

Escribimos este post ya que muchos estudiantes se preguntan para qué aprender a resolver ecuaciones. Un ejemplo de la utilidad de las ecuaciones es la resolución de problemas que aparecen en nuestra vida cotidiana.

Veamos un ejemplo de problema práctico:

Problema

Queremos diseñar una habitación de 18 metros cuadrados con forma rectangular de modo que el largo de la misma sea el doble que el ancho.

Solución

Llamamos x al ancho de la habitación.
Como el largo tiene que ser el doble del ancho, el largo es 2·x.
El área de un rectángulo es el producto del ancho por el largo:

Área = x·2·x = 2·x²

Como el área tiene que ser 18, tenemos la ecuación

18 =2·x²

La ecuación que tenemos es una ecuación de segundo grado incompleta. Esta ecuación tiene dos soluciones: x = 3 y x = -3.

La solución del problema es la solución positiva porque la incógnita x representa una longitud.

Por tanto, el largo de la habitación debe ser 6 metros y el ancho debe ser 3 metros. El área es 3·6 = 18 m².

¡Ahora ya no tenéis excusa para pensar que las ecuaciones no sirven para nada!

Más ejemplos de problemas prácticos:

9 octubre, 201820 septiembre, 2021

¿Hay ecuaciones sin solución?

La respuesta a la pregunta ¿hay ecuaciones sin solución? es que sí:

No todas las ecuaciones tienen solución.

Veamos algunos ejemplos de ecuaciones sin solución:

Ejemplo 1: un ejemplo de ecuación sin solución es la siguiente:

La ecuación no tiene solución porque si a x le sumamos 1, no puede ser igual a x. De hecho, si intentamos resolver la ecuación, obtenemos una igualdad FALSA: