Límites de fracciones de raíces

Anteriormente, vimos cómo calcular el límite de una raíz. En este post explicamos cómo calcular límites de fracciones de raíces.

La técnica que usaremos es omitir los sumandos irrelevantes de los radicandos.

Supongamos que tenemos las siguientes funciones que son raíces cuadradas de polinomios de tercer grado:

Los límites dependen de los monomios de grado mayor (en nuestro caso, es el monomio x³). Esto de sebe a que estos monomios son los que más peso tienen en la suma cuando x toma valores muy grandes (o muy pequeños).

Como las tres funciones tienen un polinomio del mismo grado (grado 3), su comportamiento es similar cuando x toma valores grandes, como se observa en sus gráficas:

Podríamos decir que las funciones son casi iguales:

Esto nos facilita el cálculo de límites: los tres límites de estas funciones coinciden:

Importante: no hay que aplicar este procedimiento cuando tenemos una resta de raíces.

A continuación, explicamos cómo aplicar la técnica anterior para calcular límites de cocientes de raíces.

Supongamos que tenemos un cociente de raíces de distinto orden:

Cuando x tiende a +∞, los radicandos tienden a infinito y, por tanto, tenemos un cociente de infinitos:

Sin embargo, podemos cambiar las raíces por raíces casi iguales, según vimos anteriormente:

Además, podemos aplicar las propiedades de las raíces/potencias:

Por tanto, podemos ver el límite inicial como un cociente de polinomios:

Recordad que el límite del cociente de dos polinomios del mismo grado es igual al cociente de sus coeficientes principales:

Por tanto,

Más información y ejemplos:

14 mayo, 202014 mayo, 2020

Límite de una raíz

En este post explicamos cómo calcular límites de raíces. Próximamente, veremos cómo calcular límites de divisiones de raíces y límites de restas de raíces.

Consideremos la función raíz cuadrada:

Se trata de una función que siempre crece, así que su límite es infinito cuando x tiende a infinito positivo:

La función no está definida cuando x es negativo (no existe la raíz cuadrada de un número negativo), así que no existe el límite cuando x→-∞.

Gráfica:

Consideremos ahora la función raíz cúbica:

La raíz cúbica de x crece cuando x crece y decrece cuando x decrece, así que sus límites son

Gráfica:

Más información y ejemplos:

9 abril, 2020

Límite de una fracción con exponenciales

Vimos en límites de exponenciales cómo calcular límites de funciones exponenciales según el valor de la base. En este post explicamos cómo calcular límites de cocientes/fracciones con exponenciales.

La técnica es muy sencilla:

Dividimos en el numerador y en el denominador por la exponencial de base mayor.

Ejemplo 1

La exponencial de base mayor es 3^x, así que dividimos entre 3^x:

Observad que la exponencial de base 2/3 tiende a 0 porque 2/3 es menor que 1.

Gráfica de la función:

Ejemplo 2

La exponencial de base mayor es 5^x, así que dividimos entre 5^x:

Gráfica de la función:

Ejemplo 3

La exponencial de base mayor es 3^x, así que dividimos entre 3^x:

Gráfica de la función:

Más información y ejemplos:

8 abril, 20208 abril, 2020

Límites de exponenciales

El límite de una exponencial depende, sobre todo, de la base de la exponencial.

Límite cuando x→+∞

Supongamos que x tiende a +∞ , entonces

Si la base es mayor que 1, el límite es infinito positivo. Por ejemplo,

Si la base está entre 0 y 1, el límite es 0. Por ejemplo,

Si la base es 1, el límite es 1:

Importante: si se trata de una función exponencial cuya base tiende a 1 y cuyo exponente tiende a infinito, entonces tenemos la indeterminación 1 elevado a infinito.

Límite cuando x→-∞

Supongamos que x tiende a -∞ , entonces

Si la base es mayor que 1, el límite es 0. Por ejemplo,

Si la base está entre 0 y 1, el límite es infinito. Por ejemplo,

Si la base es 1, el límite es 1 (también hay que tener en cuenta lo dicho en el tercer caso anterior).

Más información y ejemplos en

21 febrero, 2020

Límite de una fracción de polinomios

En el límite de un cociente de polinomios P(x)/Q(x) suele aparecer un cociente de infinitos (∞/∞).

Escribimos δP y δQ para referirnos al grado de los polinomios P y Q, respectivamente. Entonces,

En el primer caso, el signo del infinito depende de los grados de los polinomios y de sus coeficientes.
En el tercer caso, p es el coeficiente director de P(x) y q es el de Q(x).

Ejemplo 1

El límite es infinito porque el grado del numerador es mayor que el del denominador. Los coeficientes de los polinomios son positivos y el infinito del límite es positivo, por tanto, el límite es positivo.

Ejemplo 2

Tenemos un cociente de polinomios de igual grado. Su límite es el cociente de sus coeficientes directores.

Ejemplo 3

El límite es 0 porque el grado del denominador es mayor.

Ejemplo 4

El límite es infinito porque el grado del numerador es mayor. Los coeficientes son positivos y el infinito del límite es negativo. Como el grado del numerador es impar y el del numerador es par, el resultado es negativo (negativo entre positivo).

Ejemplo 5

El límite es infinito porque el grado del numerador es mayor. El infinito del límite es negativo. Al cuadrado es positivo. Al cubo es negativo, pero tiene el coeficiente negativo. Por tanto, tenemos positivo entre positivo.

Ejemplo 6

El límite es infinito porque el grado del numerador es mayor. Positivo entre negativo, así que el resultado es negativo.

Más ejemplos y temas de límites:

20 febrero, 202011 septiembre, 2021

Ejemplos de continuidad de funciones definidas a trozos

La continuidad de una función definida a trozos o por intervalos se estudia del mismo que una función normal, pero hay que tratar los puntos donde cambia la definición de la función como posibles puntos de discontinuidad. En estos puntos, tenemos que comprobar si los límites laterales coinciden.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1

La función es continua en cada uno de los tres intervalos puesto que se tratan de polinomios. Los posibles candidatos a puntos de discontinuidad son los extremos de los intervalos: x=0 y x=1.

Calculamos los límites laterales en estos puntos:

Punto x=0

Punto x=1

El único punto de discontinuidad es x=0, ya que los límites laterales no coinciden.

Gráfica:

Ejemplo 2

En el intervalo x≤3, la función es racional. Tenemos que excluir el punto x=2 del dominio porque anula al denominador.
En el intervalo x>3, también es racional. El denominador se anula en x=3/2 <3, así que no hay que excluir ningún punto.

El dominio de la función es el conjunto de los reales excepto x=2.

Calculamos los límites laterales en el punto x=3:

Como no coinciden, la función no es continua en x=3.

La función es continua en todos los reales excepto en x=2 y x=3.

Gráfica:

Ejemplo 3

El dominio es el conjunto de los reales.

En cada intervalo (abierto) de definición, la función es continua. Tenemos que ver qué ocurre en los puntos x=2 y x=3.

Límites laterales en x=2:

Como los límites son distintos, no hay continuidad en $x = 2$ .

Límites laterales en x=3:

Como los límites son distintos, no hay continuidad en x=3.

Por tanto, la función es continua en el conjunto de los reales excepto en x=2 y x=3.

Gráfica:

Más ejemplos y temas relacionados:

18 febrero, 202018 febrero, 2020

Ejemplos de continuidad de funciones con raíces

Vimos en continuidad de funciones que una una función con una raíz cuadrada es continua en los reales para los que el radicando es no negativo. A continuación vamos a ver algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Tenemos que buscar los puntos para los cuales el radicando es es positivo.

Igualamos el radicando a 0 y resolvemos la ecuación:

Estas dos soluciones dividen la recta real en tres intervalos:

En uno o dos de estos intervalos, el radicando de la función es no negativo. Para saber cuál es, sólo tenemos que escoger algún punto al azar de cada intervalo.

Primer intervalo:

Segundo intervalo:

Tercer intervalo:

Por tanto, el radicando es no negativo en el primer y tercer intervalo. Luego la función es continua en

Observad que incluimos los puntos x=2 y x=-2 porque para estos valores el radicando es 0.

Gráfica:

Ejemplo 2

El radicando de la raíz debe ser no negativo.
El denominador tiene que ser distinto de 0.

Igualamos el radicando a 0:

Hay que estudiar el signo del radicando los intervalos siguientes:

Dando valores, el radicando es no negativo en el primer y tercer intervalo.

Factorizamos el denominador:

Aplicamos la regla de Ruffini para hallar las soluciones del polinomio de tercer grado:

Por tanto,

Tenemos que excluir los puntos 0, 1 y -1.

El dominio es el conjunto de los reales excepto el intervalo [-1, 1]. La función es continua en su dominio.

Gráfica:

Ejemplo 3

El argumento del logaritmo debe ser positivo.
El radicando debe ser no negativo.
El denominador debe ser no nulo.

Aplicando las propiedades de los logaritmos,

De este modo, es fácil ver que deben cumplirse las siguientes inecuaciones:

Se cumplen ambas sólo si x>1.

Así, pues, el dominio de la función es ]1, +∞[. La función es continua en su dominio.

Gráfica:

Más ejemplos en

10 febrero, 202028 septiembre, 2021

Área y volumen de la pirámide cuadrada

Una pirámide cuadrada (o cuadrangular) es una pirámide con base cuadrada. Este poliedro tiene 5 caras (1 base y 4 caras laterales), 8 aristas y 5 vértices:

h es la altura de la pirámide
L es el lado del cuadrado de la base
a son las aristas laterales

La pirámide es recta cuando la proyección del vértice superior sobre la base coincide con su centro. Si no, la pirámide es oblicua:

Nosotros supondremos siempre que la pirámide es recta.

Área de la pirámide

El área de una pirámide cuadrada de lado L y altura h es

Desarrollo plano de la pirámide:

Volumen de la pirámide

El volumen de la pirámide cuadrada de lado L y altura h es

Nota: esta fórmula sirve para la pirámide oblicua.

Más información y temas relacionados:

9 febrero, 202028 septiembre, 2021

Área y volumen de la pirámide triangular (tetraedro)

Un tetraedro o pirámide triangular es un poliedro formado por 4 caras triangulares, 6 aristas y 4 vértices:

El tetraedro es regular cuando todas las caras son triángulos equiláteros de igual lado:

Área del tetraedro

El área de un tetraedro de altura h y cuya base es un triángulo equilátero de lado L es

El área de un tetraedro regular de lado L es

Volumen del tetraedro

El volumen de un tetraedro de altura h y cuya base es un triángulo equilátero de lado L es

El volumen de un tetraedro regular de lado L es

Más información y temas relacionados:

8 febrero, 202028 septiembre, 2021

Área y volumen del casquete esférico

Un casquete esférico es la figura geométrica obtenida al cortar una esfera con un plano:

El plano de corte debe ser perpendicular al segmento que une los polos de la esfera.

Si la altura del corte (h) es igual al radio de la esfera (R), entonces el casquete es un hemisferio.

Elementos

R es el radio de la esfera
a es el radio de la base del casquete esférico
h es la altura del casquete esférico

Área del casquete esférico

El área del casquete esférico de altura h y con base de radio a de la esfera de radio R es

O bien,

Volumen del casquete esférico

El volumen del casquete esférico de altura h y con base de radio a de la esfera de radio R es

O bien,

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